Existenz von Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Do 11.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | a) Gibt es eine nichtkonstante holomorphe Funktion f: [mm] D_1(0) [/mm] --> [mm] \IC [/mm] mit f(1/n)=0 für alle n [mm] \in \IN?
[/mm]
b) a) Gibt es eine nichtkonstante holomorphe Funktion g: [mm] D_1(1) [/mm] --> [mm] \IC [/mm] mit g(1/n)=0 für alle n [mm] \in \IN?
[/mm]
c) Man gebe eine holomorphe Funktion h : [mm] D_1(0) [/mm] --> [mm] \IC [/mm] an, welche jeweils die folgende Bedingung erfüllt oder man zeige, dass eine solche Funktion nicht existiert:
(i) h(1/2n)=1/n und h(1/(2n+1))=1/(n+1) für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
(ii) [mm] h^{(n)}(0)= [/mm] (n+1)! für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm] |
Hallo!
zu a) und b) Diese Aufgabenteile schreien ja nach dem Identitätssatz, aber ich kann ihn irgendwie nicht anwenden.. (1/n) konvergiert ja gegen 0 für n gegen [mm] \infty. [/mm] 0 ist also Häufungspunkt. Einmal liegt dieser Häufungspunkt im Inneren (bei a) und einmal auf dem Rand (bei b) des Kreises...
zu c) Bei (i) habe ich keine Idee...
zu (ii)
Sei [mm] a_n [/mm] :=n+1. Dann hat die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] Radius 1. Folglich ist die Fkt h: [mm] D_1(0) [/mm] --> [mm] \IC [/mm] , z --> [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] holomorph und es gilt [mm] h^{(n)}(0)=n!a_n=(n+1)! [/mm] Wie kamn ich die Fkt jetzt ganz konkret angeben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Do 11.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> a) Gibt es eine nichtkonstante holomorphe Funktion f:
> [mm]D_1(0)[/mm] --> [mm]\IC[/mm] mit f(1/n)=0 für alle n [mm]\in \IN?[/mm]
> b) a)
> Gibt es eine nichtkonstante holomorphe Funktion g: [mm]D_1(1)[/mm]
> --> [mm]\IC[/mm] mit g(1/n)=0 für alle n [mm]\in \IN?[/mm]
> c) Man gebe eine
> holomorphe Funktion h : [mm]D_1(0)[/mm] --> [mm]\IC[/mm] an, welche jeweils
> die folgende Bedingung erfüllt oder man zeige, dass eine
> solche Funktion nicht existiert:
> (i) h(1/2n)=1/n und h(1/(2n+1))=1/(n+1) für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> (ii) [mm]h^{(n)}(0)=[/mm] (n+1)! für alle n [mm]\in \IN_0[/mm]
> Hallo!
>
> zu a) und b) Diese Aufgabenteile schreien ja nach dem
> Identitätssatz, aber ich kann ihn irgendwie nicht
> anwenden.. (1/n) konvergiert ja gegen 0 für n gegen
> [mm]\infty.[/mm] 0 ist also Häufungspunkt. Einmal liegt dieser
> Häufungspunkt im Inneren (bei a)
... dann sagt der Identitätssatz, dass f konstant =0 ist.
> und einmal auf dem Rand
> (bei b) des Kreises...
[mm] g(z)=sin(\bruch{\pi}{z})
[/mm]
>
> zu c) Bei (i) habe ich keine Idee...
Nimm an, es gäbe ein h , so dass (i) gilt. Setze g(z)=h(z)-2z
Dann ist g(1/2n)=0 für alle n. Was sagt der Id.-Satz dazu ?
Kann nun auch noch h(1/(2n+1))=1/(n+1) für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ gelten ?
>
> zu (ii)
> Sei [mm]a_n[/mm] :=n+1. Dann hat die Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm] Radius 1. Folglich ist die Fkt
> h: [mm]D_1(0)[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , z --> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm]
> holomorph und es gilt [mm]h^{(n)}(0)=n!a_n=(n+1)![/mm] Wie kamn ich
> die Fkt jetzt ganz konkret angeben?
[mm] h(z)=\bruch{1}{(1-z)^2}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 11.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
> > zu a) und b) Diese Aufgabenteile schreien ja nach dem
> > Identitätssatz, aber ich kann ihn irgendwie nicht
> > anwenden.. (1/n) konvergiert ja gegen 0 für n gegen
> > [mm]\infty.[/mm] 0 ist also Häufungspunkt. Einmal liegt dieser
> > Häufungspunkt im Inneren (bei a)
>
> ... dann sagt der Identitätssatz, dass f konstant =0 ist.
>
Weil ein N [mm] \subset D_1(0) [/mm] existiert das nicht diskret ist mit f eingeschränkt auf N ist constant 0, was äquivalent dazu ist dass f konstant 0 auf [mm] D_1(0) [/mm] ist. Kann man das so sagen? Wie kann ich N angeben?
>
> > und einmal auf dem Rand
> > (bei b) des Kreises...
>
> [mm]g(z)=sin(\bruch{\pi}{z})[/mm]
>
Wie kommst du darauf?
> >
> > zu c) Bei (i) habe ich keine Idee...
>
> Nimm an, es gäbe ein h , so dass (i) gilt. Setze
> g(z)=h(z)-2z
>
> Dann ist g(1/2n)=0 für alle n. Was sagt der Id.-Satz dazu
> ?
>
> Kann nun auch noch h(1/(2n+1))=1/(n+1) für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> gelten ?
>
Ich habe mir hier überlegt, h(z)=2z zu setzen. Dann ist die erste Bedingung erfüllt, aber die zweite nicht. Reicht das?
> >
> > zu (ii)
> > Sei [mm]a_n[/mm] :=n+1. Dann hat die Potenzreihe
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm] Radius 1. Folglich ist die Fkt
> > h: [mm]D_1(0)[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , z --> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm]
> > holomorph und es gilt [mm]h^{(n)}(0)=n!a_n=(n+1)![/mm] Wie kamn ich
> > die Fkt jetzt ganz konkret angeben?
1. Ist das was ich geschrieben hatte soweit korrekt?
> [mm]h(z)=\bruch{1}{(1-z)^2}[/mm]
2. Wie kommst du darauf??
Ich hatte es mal so versucht:
[mm] h(z)=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}= \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] n [mm] z^{n-1}= [/mm] d/dz [mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-z)^2} [/mm] Stimmtr das so?
Danke für deine Mühe!!
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Do 11.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > zu a) und b) Diese Aufgabenteile schreien ja nach dem
> > > Identitätssatz, aber ich kann ihn irgendwie nicht
> > > anwenden.. (1/n) konvergiert ja gegen 0 für n gegen
> > > [mm]\infty.[/mm] 0 ist also Häufungspunkt. Einmal liegt dieser
> > > Häufungspunkt im Inneren (bei a)
> >
> > ... dann sagt der Identitätssatz, dass f konstant =0 ist.
> >
> Weil ein N [mm]\subset D_1(0)[/mm] existiert das nicht diskret ist
... in [mm] D_1 [/mm] (0)....
> mit f eingeschränkt auf N ist constant 0, was äquivalent
> dazu ist dass f konstant 0 auf [mm]D_1(0)[/mm] ist. Kann man das so
> sagen? Wie kann ich N angeben?
N ist die Menge der Zahlen 1/n
> >
> > > und einmal auf dem Rand
> > > (bei b) des Kreises...
> >
> > [mm]g(z)=sin(\bruch{\pi}{z})[/mm]
> >
> Wie kommst du darauf?
Nachdenken, probieren, Erfahrung,.....
> > >
> > > zu c) Bei (i) habe ich keine Idee...
> >
> > Nimm an, es gäbe ein h , so dass (i) gilt. Setze
> > g(z)=h(z)-2z
> >
> > Dann ist g(1/2n)=0 für alle n. Was sagt der Id.-Satz dazu
> > ?
> >
> > Kann nun auch noch h(1/(2n+1))=1/(n+1) für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> > gelten ?
> >
> Ich habe mir hier überlegt, h(z)=2z zu setzen.
Ist g so, wie ich es oben definiert habe, so ist g konstant =0. Das sieht man wie bei a).
Somit ist h (z)=2z.
Dann ist
> die erste Bedingung erfüllt, aber die zweite nicht. Reicht
> das?
Ein solches h kann es also nicht geben.
> > >
> > > zu (ii)
> > > Sei [mm]a_n[/mm] :=n+1. Dann hat die Potenzreihe
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm] Radius 1. Folglich ist die Fkt
> > > h: [mm]D_1(0)[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , z --> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm]
> > > holomorph und es gilt [mm]h^{(n)}(0)=n!a_n=(n+1)![/mm] Wie kamn ich
> > > die Fkt jetzt ganz konkret angeben?
>
> 1. Ist das was ich geschrieben hatte soweit korrekt?
>
> > [mm]h(z)=\bruch{1}{(1-z)^2}[/mm]
>
> 2. Wie kommst du darauf??
> Ich hatte es mal so versucht:
>
> [mm]h(z)=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}= \summe_{n=0}^{\infty}[/mm] n
> [mm]z^{n-1}=[/mm] d/dz [mm]\summe_{n=0}^{\infty}z^n[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-z)^2}[/mm]
> Stimmtr das so?
Ja
Fred
>
> Danke für deine Mühe!!
> > FRED
> >
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 11.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
Hallo Fred, könntest du mir nochmal genau erklären, weshalb bei b) der Identitätssatz nicht greift?
zu a) also N={1/n; n [mm] \in \IN [/mm] } und N ist nicht diskret in [mm] D_1(0), [/mm] weil 0 Häufungspunkt von N ist und 0 [mm] \in D_1(0).
[/mm]
b) Hier ist doch auch 0 [mm] \in D_1(1). [/mm] oder zählt der Rand nicht dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 11.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo Fred, könntest du mir nochmal genau erklären,
> weshalb bei b) der Identitätssatz nicht greift?
Das erzaehle ich Dir morgen, falls nicht jemand sonst Dir das sagt, denn heute habe ich ein Glas Wein zuviel im Kopf.
>
> zu a) also N={1/n; n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und N ist nicht diskret in
> [mm]D_1(0),[/mm] weil 0 Häufungspunkt von N ist und 0 [mm]\in D_1(0).[/mm]
So ist es.
>
> b) Hier ist doch auch 0 [mm]\in D_1(1).[/mm]
Nein !
Fred
oder zählt der Rand
> nicht dazu?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:10 Fr 12.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
Alles klar. Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Fr 12.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich formuliere mal eine Version des Identitätssatzes:
Sei G ein Gebiet in [mm] \IC, [/mm] $f:G [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph, [mm] z_0 \in [/mm] G und [mm] (z_n) [/mm] eine Folge in G [mm] \setminus \{z_0\} [/mm] mit [mm] z_n \to z_0 [/mm] und [mm] f(z_n)=0 [/mm] für alle n.
Dann ist f(z)=0 für alle z [mm] \inG.
[/mm]
zu b): hier ist [mm] G=D_1(1), z_n [/mm] =1/n. [mm] (z_n) [/mm] konvergiert gegen 0, aber 0 [mm] \notin [/mm] G.
FRED
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