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Existenz von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mo 17.03.2008
Autor: Marry2605

Aufgabe
Existieren die folgenden Grenzwerte, d.h. sind die zugehorigen Folgen konvergent? Falls ja,
bestimmen Sie die Grenzwerte.

[mm] \bruch{2- \bruch{(-1)^2}{n^3} (1- \bruch{n^4}{n^2-2})}{3 + \bruch{n}{n^2-1}} [/mm]

Wenn ich sowas bestimmen will, bestimme ich doch einfach den Grenzwert mittels den Limessaetzen? Also ich klammere die hoechste Potenz aus hier [mm] n^4 [/mm] ?

Laut meiner Loesung komme ich dann auf 0! Ich wuerde das ganze ja gerne Posten aber mit dem Formeleditor ist das zumindest fuer mich nicht moeglich.

Lg

        
Bezug
Existenz von Grenzwerten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Mo 17.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Maria,

> Existieren die folgenden Grenzwerte, d.h. sind die
> zugehorigen Folgen konvergent? Falls ja,
>  bestimmen Sie die Grenzwerte.
>  
> [mm]\bruch{2- \bruch{(-1)^2}{n^3} (1- \bruch{n^4}{n^2-2})}{3 + \bruch{n}{n^2-1}}[/mm]

Steht da wirklich [mm] $(-1)^2$ [/mm] in dem einen Zähler? Das machen wir direkt zu 1
  

> Wenn ich sowas bestimmen will, bestimme ich doch einfach
> den Grenzwert mittels den Limessaetzen? [ok]

Jo, das ist eine gute Idee ;-)

> Also ich klammere die hoechste Potenz aus hier [mm]n^4[/mm] ?

  > Laut meiner Loesung komme ich dann auf 0! [notok] Ich wuerde das

> ganze ja gerne Posten aber mit dem Formeleditor ist das
> zumindest fuer mich nicht moeglich.
>  
> Lg

Es ist doch schon so schön zusammengefasst, ich würde nicht [mm] $n^4$ [/mm] ausklammern, du kannst aber bei den "Teilbrüchen" jeweils die höchste gemeinsame Potenz ausklammern:

[mm] $\frac{2-\frac{1}{n^3}\cdot{}\left(1-\frac{n^4}{n^2-2}\right)}{3+\frac{n}{n^2-1}}$ [/mm]

[mm] $=\frac{2-\frac{1}{n^3}\cdot{}\left(1-\frac{\blue{n^2}\cdot{}n^2}{\blue{n^2}\cdot{}\left(1-\frac{2}{n^2}\right)}\right)}{3+\frac{\blue{n}}{\blue{n}\cdot{}\left(n-\frac{1}{n}\right)}}$ [/mm]

Nun kürzen

[mm] $=\frac{2-\frac{1}{n^3}\cdot{}\left(1-\frac{n^2}{1-\frac{2}{n^2}}\right)}{3+\frac{1}{n-\frac{1}{n}}}$ [/mm]

Jetzt siehst du's schon, multipliziere vllt. noch die Klammer im Zähler aus, dann siehst du, wogegen die einzelnen Terme konvergieren und wogegen dann der gesamte Bruch konvergiert (für [mm] $n\to\infty$) [/mm]


LG

schachuzipus

Bezug
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