Existenz von Zerlegungen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Physy |
Hallo, stimmen die folgenden Aussagen für eine quadratische Matrix A? L sei immer eine untere Dreiecksmatrix, R eine onbere Dreicksmatrix und P eine Permutationsmatrix.
A regulär <=> es existiert eine Zerlegung von A, so dass PA=LR
A regular und diagonaldominant => es existiert eine Zerlegung von A, so dass A=LR
A symmetrisch positiv definit <=> es existiert eine Zerlegung von A, so dass [mm] A=L*L^{T}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Fr 14.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, stimmen die folgenden Aussagen für eine
> quadratische Matrix A? L sei immer eine untere
> Dreiecksmatrix, R eine onbere Dreicksmatrix und P eine
> Permutationsmatrix.
>
> A regulär <=> es existiert eine Zerlegung von A, so dass
> PA=LR
Also [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stimmt, bei [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gilt das aber auch fuer nicht regulaere Matrizen (es sei denn du forderst, dass $L$ und $R$ invertierbar sind, also keine Diagonaleintraege gleich 0 haben).
> A regular und diagonaldominant => es existiert eine
> Zerlegung von A, so dass A=LR
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> A symmetrisch positiv definit <=> es existiert eine
> Zerlegung von A, so dass [mm]A=L*L^{T}[/mm]
Das gilt wieder, wenn die Diagonaleintraege von $L$ ungleich 0 sind.
LG Felix
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