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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Existenzintervall
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Existenzintervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Fr 15.10.2010
Autor: Gratwanderer

Aufgabe
Bestimmen Sie die allg. Lösungen und das maximale Existenzintervall der folgenden Gleichung

y'(x) = [mm] x^2 y^2(x) [/mm]

Hallo,

zu obiger Aufgabe habe ich folgende Lösungen herausbekommen

y(x) = [mm] -3/(x^3+3c) [/mm]    und

y(x) = 0

Ich verstehe das mit dem Existenzintervall noch nicht. Der Nenner darf ja nicht 0 werden. Von daher würde ich sagen, dass das Existenzintervall wie folgt aussieht: x [mm] \in \IR \backslash \{ -\wurzel[3]{3c} \} [/mm]

ist das so richtig?

Viele Grüße,

Gratwanderer

        
Bezug
Existenzintervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Fr 15.10.2010
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die allg. Lösungen und das maximale
> Existenzintervall der folgenden Gleichung
>  
> y'(x) = [mm]x^2 y^2(x)[/mm]
>  Hallo,
>  
> zu obiger Aufgabe habe ich folgende Lösungen
> herausbekommen
>  
> y(x) = [mm]-3/(x^3+3c)[/mm]    und
>  
> y(x) = 0

O.K.


>  
> Ich verstehe das mit dem Existenzintervall noch nicht. Der
> Nenner darf ja nicht 0 werden. Von daher würde ich sagen,
> dass das Existenzintervall wie folgt aussieht: x [mm]\in \IR \backslash \{ -\wurzel[3]{3c} \}[/mm]
>
> ist das so richtig?

Nein. Ist a [mm] \in \IR, [/mm] so ist [mm] \IR \backslash \{ a \}[/mm]   kein Intervall !!

[mm] (-\infty, [/mm] a) und (a, [mm] \infty) [/mm] sind Intervalle.


FRED

>  
> Viele Grüße,
>  
> Gratwanderer


Bezug
                
Bezug
Existenzintervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Fr 15.10.2010
Autor: Gratwanderer

ok, also sähe das Existenzintervall so aus:

[mm] (-\infty [/mm] , [mm] -\wurzel[3]{3c}) \cup (-\wurzel[3]{3c} [/mm] , [mm] \infty) [/mm]  ?

Vielen Dank !

Bezug
                        
Bezug
Existenzintervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Fr 15.10.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Gratwanderer,

> ok, also sähe das Existenzintervall so aus:
>
> [mm](-\infty[/mm] , [mm]-\wurzel[3]{3c}) \cup (-\wurzel[3]{3c}[/mm] , [mm]\infty)[/mm]
> ?

Ein Existenzintervall darf keine "Lücken" haben!

>
> Vielen Dank !

Du hast vorher einen Fehler, der Nenner wird Null für [mm]x=\sqrt[3]{-3c}[/mm] !!

Lösungsfunktionen existieren also auf den Intervallen [mm](-\infty,\sqrt[3]{-3c})[/mm] und auf [mm](\sqrt[3]{-3c},\infty)[/mm]

Nicht zu vergessen die stat. Lösung [mm]y\equiv 0[/mm]

Insgesamt hast du also die Lösungen:

[mm]y_1:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm]

[mm]y_2:(-\infty,\sqrt[3]{-3c})\to\IR, x\mapsto -\frac{3}{x^3+3c}[/mm]

[mm]y_3:(\sqrt[3]{-3c},\infty)\to\IR, x\mapsto -\frac{3}{x^3+3c}[/mm]

für [mm]c\in\IR[/mm]

Gruß

schachuzipus


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