Existenzsatz von Peano < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine AWA $u'(t) = [mm] f(t,u(t)),\quad t\in [t_0,t_0+T],\quad u(t_0) [/mm] = [mm] u_0$. [/mm] Die Funktion f(t,x) sei stetig.
Seien [mm] u_1(t) [/mm] und [mm] u_2(t) [/mm] zwei durch den Existenzsatz von Peano gelieferte lokale Lösungen auf den Intervallen [mm] $I_1 [/mm] = [mm] [t_0,t_1]$ [/mm] bzw. [mm] $I_2 [/mm] = [mm] [t_1,t_2]$ [/mm] zu den Anfangswerten [mm] $u_1(t_0) [/mm] = [mm] u_0$ [/mm] bzw. [mm] $u_2(t_1) [/mm] = [mm] u_1(t_1).$
[/mm]
Begründe (Beweise), dass dann die Funktion
$u(t) := [mm] \begin{cases}u_1(t),\quad t\in[t_0,t_1]\\ u_2(t),\quad t\in[t_1,t_2]\end{cases}$
[/mm]
eine stetig differenzierbare Lösung der AWA auf dem Intervall [mm] $I_1\cup I_2 [/mm] = [mm] [t_0,t_2]$ [/mm] ist. |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter.
Ich würde es gern exakt beweisen, deswegen bitte ich, das wenige, was ich hervorbringen kann, kritisch zu durchleuchten 
1. Die zusammengesetzte Funktion u(t) ist stetig. Das ist klar wegen [mm] $u_2(t_1) [/mm] = [mm] u_1(t_1).$.
[/mm]
2. Dass die zusammengesetzte Funktion u(t) die AWA auf dem gesamten Intervall löst, ist auch klar, weil sie ja die AWA für jedes t löst.
3. Es bleibt also zu zeigen, dass u(t) stetig differenzierbar ist.
Dass u(t) stetig differenzierbar ist in allen Punkten von [mm] [t_0,t_2] [/mm] außer dem Punkt [mm] t_1 [/mm] ist klar.
Die grundsätzliche Frage der Aufgabe ist also: Warum ist u(t) stetig differenzierbar in [mm] t_1 [/mm] ?
Kann mir da jemand einen Ansatz geben?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:15 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei eine AWA [mm]u'(t) = f(t,u(t)),\quad t\in [t_0,t_0+T],\quad u(t_0) = u_0[/mm].
> Die Funktion f(t,x) sei stetig.
> Seien [mm]u_1(t)[/mm] und [mm]u_2(t)[/mm] zwei durch den Existenzsatz von
> Peano gelieferte lokale Lösungen auf den Intervallen [mm]I_1 = [t_0,t_1][/mm]
> bzw. [mm]I_2 = [t_1,t_2][/mm] zu den Anfangswerten [mm]u_1(t_0) = u_0[/mm]
> bzw. [mm]u_2(t_1) = u_1(t_1).[/mm]
>
> Begründe (Beweise), dass dann die Funktion
>
> [mm]u(t) := \begin{cases}u_1(t),\quad t\in[t_0,t_1]\\ u_2(t),\quad t\in[t_1,t_2]\end{cases}[/mm]
>
> eine stetig differenzierbare Lösung der AWA auf dem
> Intervall [mm]I_1\cup I_2 = [t_0,t_2][/mm] ist.
> Hallo,
>
> ich komme bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter.
> Ich würde es gern exakt beweisen, deswegen bitte ich, das
> wenige, was ich hervorbringen kann, kritisch zu
> durchleuchten
>
> 1. Die zusammengesetzte Funktion u(t) ist stetig. Das ist
> klar wegen [mm]u_2(t_1) = u_1(t_1).[/mm].
Du meinst was anderes, und zwar: Außer an der Stelle [mm] $t_1$ [/mm] ist die Stetigkeit von [mm] $u\,$ [/mm] klar. Die Stelle ist aber auch eine Stetigkeitsstelle, da an dieser rechtsseitiger und linksseiter Funktionsgrenzwert mit [mm] $u(t)\;\;(=u_1(t_1)=u_2(t_1))$ [/mm] zusammenfallen.
Das ist eine andere Begründung. Denn das [mm] $u_2(t_1)=u_1(t_1)$ [/mm] ist, muss schon sein, weil ansonsten ja sowohl
[mm] $$u(t_1)=u_1(t_1)$$
[/mm]
als auch
[mm] $$u(t_1)=u_2(t_1)$$
[/mm]
gelten würde mit [mm] $u_1(t_1)\not=u_2(t_1)$. [/mm] Dann wäre [mm] $u\,$ [/mm] aber keine Abbildung, denn der Stelle [mm] $t_1$ [/mm] würden "zwei verschiedene Werte" zugeordnet.
Oder andersherum:
Wenn [mm] $u\,$ [/mm] eine Abbildung mit [mm] $u(t_1)=u_1(t_1)$ [/mm] und [mm] $u(t_1)=u_2(t_1)$ [/mm] ist, dann folgt aus der Abbildungseigenschaft von [mm] $u\,$
[/mm]
[mm] $$u_1(t_1)=u_2(t_1)\,.$$ [/mm]
D.h.
[mm] $$u_1(t_1)=u_2(t_1)$$ [/mm]
ist erstmal notwendig dafür, dass [mm] $u\,$ [/mm] auch wirklich eine Abbildung (oder Funktion) ist. Denn dann gilt ja:
Jeder Stelle aus dem Definitionsbereich wird genau ein Wert (des Zielbereichs) zugeordnet.
Anders gesagt: Es gibt keine Stelle, der keinen Wert zugeordnet wird, und es gibt auch keine Stelle, der mehr als einen Wert zugeordnet wird.
In diesem Sinne:
[mm] $u_1(t_1)=u_2(t_1)$ [/mm] ist notwendig, damit man bei [mm] $u\,$ [/mm] überhaupt von einer Abbildung (oder Funktion) sprechen kann. Anders formuliert:
Diese Bedingung ist schonmal notwendig, damit [mm] $u\,$ [/mm] überhaupt "als Funktion (wohl-)definiert ist."
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für die ausführliche Erläuterung
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Mi 30.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $\limes_{t\rightarrow t_1-0}\bruch{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}= \limes_{t\rightarrow t_1-0}\bruch{u_1(t)-u_1(t_1)}{t-t_1}=u_1'(t_1) [/mm] = [mm] f(t_1,u(t_1))$
[/mm]
$ = [mm] f(t_1,u_2(t_1))= u_2'(t_1)= \limes_{t\rightarrow t_1+0}\bruch{u_2(t)-u_2(t_1)}{t-t_1}= \limes_{t\rightarrow t_1+0}\bruch{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}$
[/mm]
Somit ist u in [mm] t_1 [/mm] differenzierbar und [mm] u'(t_1)=f(t_1,u(t_1))
[/mm]
Damit gilt: u'(t)=f(t,u(t)) für jedes t [mm] \in I_1\cup I_2
[/mm]
Da f stetig ist, ist auch u' stetig
FRED
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
Ich habe sie durchaus gelesen, bin aber erst heute wieder dazu gekommen, näher darüber nachzudenken.
Ich habe dazu noch eine Frage:
> [mm]\limes_{t\rightarrow t_1-0}\bruch{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}= \limes_{t\rightarrow t_1-0}\bruch{u_1(t)-u_1(t_1)}{t-t_1}=u_1'(t_1) = f(t_1,u(t_1))[/mm]
>
> [mm]= f(t_1,u_2(t_1))= u_2'(t_1)= \limes_{t\rightarrow t_1+0}\bruch{u_2(t)-u_2(t_1)}{t-t_1}= \limes_{t\rightarrow t_1+0}\bruch{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}[/mm]
Die Definition von differenzierbar lautet ja, dass für jede Folge von [mm] h_{n} [/mm] der Limes
[mm] $\lim_{t\to t_1}\frac{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}$
[/mm]
existiert (und überall gleich ist, wobei man das glaube ich gar nicht fordern muss, weil das dann automatisch so ist). Oben hast du aber nur Folgen betrachtet, die sich entweder nur von links oder nur von rechts an [mm] t_1 [/mm] annähern.
Ist das ausreichend? Wieso - weil u(t) in der Umgebung von [mm] t_1 [/mm] (außer [mm] t_1 [/mm] selbst) ausreichend "regulär" ist, also stetig und differenzierbar?
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Lippel |
> Hallo Fred,
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> danke für deine Antwort!
> Ich habe sie durchaus gelesen, bin aber erst heute wieder
> dazu gekommen, näher darüber nachzudenken.
>
> Ich habe dazu noch eine Frage:
>
> > [mm]\limes_{t\rightarrow t_1-0}\bruch{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}= \limes_{t\rightarrow t_1-0}\bruch{u_1(t)-u_1(t_1)}{t-t_1}=u_1'(t_1) = f(t_1,u(t_1))[/mm]
>
> >
> > [mm]= f(t_1,u_2(t_1))= u_2'(t_1)= \limes_{t\rightarrow t_1+0}\bruch{u_2(t)-u_2(t_1)}{t-t_1}= \limes_{t\rightarrow t_1+0}\bruch{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}[/mm]
>
> Die Definition von differenzierbar lautet ja, dass für
> jede Folge von [mm]h_{n}[/mm] der Limes
>
> [mm]\lim_{t\to t_1}\frac{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}[/mm]
>
> existiert (und überall gleich ist, wobei man das glaube
> ich gar nicht fordern muss, weil das dann automatisch so
> ist). Oben hast du aber nur Folgen betrachtet, die sich
> entweder nur von links oder nur von rechts an [mm]t_1[/mm]
> annähern.
> Ist das ausreichend? Wieso - weil u(t) in der Umgebung von
> [mm]t_1[/mm] (außer [mm]t_1[/mm] selbst) ausreichend "regulär" ist, also
> stetig und differenzierbar?
Ich denke es ist ausreichend, da wenn eine Folge von beiden Seiten gegen [mm]t_1[/mm] konvergiert, so kann man zwei Teilfolgen betrachten, von denen jeweils eine von oben und eine von unten gegen [mm]t_1[/mm] konvergiert. Auf diese kannst du dann anwenden, was Fred ausgeführt hat, und somit darauf schließen, dass die Konvergenz des Differenzenquotienten auch für diese Folge gilt.
Grüße Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei h:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 [/mm] sei ein innerer Punkt von D ( D [mm] \subseteq \IR), [/mm] dann gilt
der GW [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}h(x) [/mm] existiert
[mm] \gdw
[/mm]
die GWe [mm] \limes_{x\rightarrow x_0+0}h(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow x_0-0}h(x) [/mm] existieren und sind gleich.
FRED
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Hallo Fred,
danke für den Hinweis!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Ich habe dazu noch eine Frage:
>
> > [mm]\limes_{t\rightarrow t_1-0}\bruch{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}= \limes_{t\rightarrow t_1-0}\bruch{u_1(t)-u_1(t_1)}{t-t_1}=u_1'(t_1) = f(t_1,u(t_1))[/mm]
>
> >
> > [mm]= f(t_1,u_2(t_1))= u_2'(t_1)= \limes_{t\rightarrow t_1+0}\bruch{u_2(t)-u_2(t_1)}{t-t_1}= \limes_{t\rightarrow t_1+0}\bruch{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}[/mm]
>
> Die Definition von differenzierbar lautet ja, dass für
> jede Folge von [mm]h_{n}[/mm] der Limes
>
> [mm]\lim_{t\to t_1}\frac{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}[/mm]
wozu dann die [mm] $h_n$? [/mm] Du wolltest anstatt [mm] $t\,$ [/mm] wahrscheinlich [mm] $t_1+h_n$ [/mm] schreiben, [mm] $(h_n)_n$ [/mm] soll irgendeine Nullfolge sein (die stets [mm] $h_n\not=0$ [/mm] erfüllt) und dann anstatt [mm] $\lim_{t \to t_1}$ [/mm] vll. [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] schreiben...
> existiert (und überall gleich ist, wobei man das glaube
> ich gar nicht fordern muss, weil das dann automatisch so
> ist).
Genauso ist es. Nimm' an, [mm] $u\,$ [/mm] sei an [mm] $t_1$ [/mm] differenzierbar. Nun betrachten wir Nullfolgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] (stets alle Folgeglieder [mm] $\not=0$) [/mm] mit
[mm] $$d_1:=\lim_{n\to \infty}\frac{u(t_1+a_n)-u(t_1)}{t_1+a_n-t_1}=\lim_{n\to \infty}\frac{u(t_1+a_n)-u(t_1)}{a_n},$$ [/mm]
[mm] $$d_2:=\lim_{n\to \infty}\frac{u(t_1+b_n)-u(t_1)}{b_n}\,.$$ [/mm]
Wir nehmen an, es sei [mm] $d_1 \not=d_2\,.$ [/mm] Dann betrachten wir
[mm] $$c_n:=\begin{cases} a_n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ b_n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Dann ist [mm] $(c_n)_n$ [/mm] Nullfolge mit stets [mm] $c_n \not=0,$ [/mm] aber die Folge
[mm] $$\left(\frac{u(t_1+c_n)-u(t_1)}{c_n}\right)_n$$
[/mm]
hat mehr als einen Häufungspunkt (nämlich mal mindestens [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] und es ist ja [mm] $d_1 \not=d_2$ [/mm] nach Annahme). Dies widerspricht aber der Annahme, dass
[mm] $$\lim_{t\to t_1}\frac{u(t)-u(t_1)}{t-t_1}$$
[/mm]
existiert. (In einem metrischen Raum haben konvergente Folgen genau einen Häufungspunkt, und das ist gerade der Grenzwert. Also kann [mm] $\left(\frac{u(t_1+c_n)-u(t_1)}{c_n}\right)_n$ [/mm] nicht konvergent sein.)
> Oben hast du aber nur Folgen betrachtet, die sich
> entweder nur von links oder nur von rechts an [mm]t_1[/mm]
> annähern.
> Ist das ausreichend? Wieso - weil u(t) in der Umgebung von
> [mm]t_1[/mm] (außer [mm]t_1[/mm] selbst) ausreichend "regulär" ist, also
> stetig und differenzierbar?
Es wurde schon zweimal gesagt, warum, aber hier kannst Du auch analog überlegen:
Nach Freds Überlegungen gilt: Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an [mm] $t_1$ [/mm] existiert jeweils und beide stimmen überein.
Nun nehmen wir irgendeine Folge [mm] $(t_n)_n$, [/mm] die gegen [mm] $t_1$ [/mm] konvergiert und stets [mm] $t_n\not=t_1$ [/mm] erfüllt. Nun "zerteile diese Folge in zwei Folgen, und zwar"
[mm] $\bullet$ [/mm] die erste Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] entsteht, indem man alle Folgeglieder [mm] $t_n< t_1$ [/mm] (in gleicher Reihenfolge, wie sie bei [mm] $(t_n)_n$ [/mm] auftauchen) reinschmeißt
[mm] $\bullet$ [/mm] die zweite Folge [mm] $(y_n)_n$ [/mm] entsteht, indem man alle Folgeglieder [mm] $t_n> t_1$ [/mm] (in gleicher Reihenfolge, wie sie bei [mm] $(t_n)_n$ [/mm] auftauchen) reinschmeißt.
Das sind dann Teilfolgen von [mm] $(t_n)_n\,,$ [/mm] sowohl bei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] als auch bei [mm] $(y_n)_n$ [/mm] sind alle Folgeglieder [mm] $\not=t_1$, [/mm] und nach Freds Vorüberlegung gilt
[mm] $$\exists \;g:=\lim_{n\to \infty}\frac{u(y_n)-u(t_1)}{y_n-t_1}=\lim_{n\to \infty}\frac{u(x_n)-u(t_1)}{x_n-t_1}\,.$$
[/mm]
Überlege Dir nun, warum damit auch
[mm] $$g=\lim_{n\to \infty}\frac{u(t_n)-u(t_1)}{t_n-t_1}$$
[/mm]
folgt (neben der Existenz der Grenzwertes rechts steht dann links auch der Wert).
P.S.:
Analoges kennst Du vielleicht bzw. kannst Du Dir auch nochmal überlegen:
Eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert genau dann (wobei wir im Falle der Konvergenz den GW mit [mm] $a\,$ [/mm] bezeichnen), wenn jede Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert. (Wobei auch hier dann die GWe jeder Teilfolge übereinstimmen.)
Beste Grüße,
Marcel
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