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| Aufgabe | Zu jedem [mm] t\inR [/mm] ist eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch
[mm] f_{t}=x+e^{-0,5x+t}; X\inR
[/mm]
Ihr Schaubild sei [mm] K_{t}.
[/mm]
a) Skizzieren Sie [mm] K_{2}, K_{0} [/mm] und [mm] K_{-2}
[/mm]
Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften der Kurven der Schar.
b) Berechnen Sie die Koordinazen des Tiefpunktes T_(t) von [mm] K_{t}.
[/mm]
Bestimmen Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle Tiefpunkte liegen.
Für welch Werte von t hat [mm] K_{t} [/mm] gemeinsame Punkte mit der x-Achse? |
Hallo MatheForum!
Habe diese Aufgabe gerechnet; weiß aber nicht, ob meine Lösungen stimmen. Bei der letzten Frage von b) weiß ich gar nicht weiter.
Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn sich jemand meinen Rechenweg anschauen und mich auf evtl. Fehler/Ungeneauigekiten/etc. hinweisen könnte.
Vielen, vielen Dank!
a)
(Skizze)
Wichtigste Eigenschaften der Kurvenschar:
1) y=x als schiefe Asymptote für x -> [mm] +\infty
[/mm]
2) Alle Kurven der Schar weisen einen Tiefpunkt auf.
Das ist alles, was mir auffällt. Gibt es noch weitere Eigenschaften?
b)
1. Ableitung: f'_{t}= [mm] 1-0,5^{-0,5x+t}
[/mm]
f'_{t}=0
[mm] 1-0,5^{-0,5x+t}=0
[/mm]
[mm] e^{-0,5x+t}=2 [/mm] | Logarithmieren
-0,5x+t=ln(2)
x= [mm] ln(\bruch{1}{4})-t
[/mm]
Damit ich die y-Koordiante bekomme, muss ich ja das ermittelte x in [mm] f_{t} [/mm] einsetzen:
[mm] f_{t}(ln(\bruch{1}{4})-t))
[/mm]
= [mm] ln(\bruch{1}{4})-t+e^{-0,5*ln(\bruch{1}{4})+0,5t+t}
[/mm]
= [mm] ln{\bruch{1}{4}}-t+^{\bruch{3}{2}t}*(\bruch{1}{4})^{-0,5}
[/mm]
= [mm] ln(\bruch{1}{4})-t+2*e^{\bruch{3}{2}t}
[/mm]
=> [mm] T_{t}(ln(\bruch{1}{4})-t|ln(\bruch{1}{4})-t+2*e^{\bruch{3}{2}t})
[/mm]
Jetzt die Ermittlung Ortkurve der Tiefpunkte:
x= [mm] ln(\bruch{1}{4})-t
[/mm]
daraus folgt: [mm] t=ln(\bruch{1}{4})-x [/mm] (a)
y= [mm] ln(\bruch{1}{4})-t+2*e^{\bruch{3}{2}t} [/mm] (b)
(a) in (b):
y= [mm] ln(\bruch{1}{4})-ln(\bruch{1}{4})+x+2*e^{\bruch{3}{2}(ln(\bruch{1}{4})-x}
[/mm]
= [mm] x+\bruch{1}{4}*e^{\bruch{3}{2}x}
[/mm]
Ich hab das mal in den GTR eingegeben; leider scheint das nicht zu stimmen. Was habe ich also falsch gemacht? Die x- und y-Koordinaten von [mm] T_{t} [/mm] scheinen zu stimmen!
Für welch Werte von t hat [mm] K_{t} [/mm] gemeinsame Punkte mit der x-Achse?
Da weiß ich leider gar nicht weiter.
Also, es muss ja: [mm] f_{t}(x)=0 [/mm] und damit
[mm] x+e^{-0,5x+t}=0 [/mm] |-x
[mm] e^{-0,5x+t}=-x [/mm] |logarithmieren
--
und hier geht's ja nicht weiter, denn ln(-x) geht ja nicht, oder?
Wie löse ich die Gleichung also auf?
Bitte helf mir!
Vielen Dank.
LG Eli
EDIT: Tippfehler verbessert (Funktion in Fragestellung)
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> Zu jedem [mm]t\inR[/mm] ist eine Funktion [mm]f_{t}[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{t}=x+e^{-0,5x+t}; X\inR[/mm]
> Ihr Schaubild sei [mm]K_{t}.[/mm]
>
> a) Skizzieren Sie [mm]K_{2}, K_{0}[/mm] und [mm]K_{-2}[/mm]
> Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften der Kurven der
> Schar.
>
> b) Berechnen Sie die Koordinazen des Tiefpunktes T_(t) von
> [mm]K_{t}.[/mm]
> Bestimmen Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle
> Tiefpunkte liegen.
> Für welch Werte von t hat [mm]K_{t}[/mm] gemeinsame Punkte mit der
> x-Achse?
> Hallo MatheForum!
> Habe diese Aufgabe gerechnet; weiß aber nicht, ob meine
> Lösungen stimmen. Bei der letzten Frage von b) weiß ich
> gar nicht weiter.
>
> Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn sich jemand meinen
> Rechenweg anschauen und mich auf evtl.
> Fehler/Ungeneauigekiten/etc. hinweisen könnte.
> Vielen, vielen Dank!
>
> a)
> (Skizze)
> Wichtigste Eigenschaften der Kurvenschar:
> 1) y=x als schiefe Asymptote für x -> [mm]+\infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dennoch gilt die Aussage, dass für [mm] $\limes_{x\rightarrow -\infty}$ [/mm] ein anderer Grenzwert, nämlich [mm] +\infty [/mm] gilt, weil x zwar gegen minus unendlich geht, die Exponentialfunktion aber wesentlich stärker anzieht. Das ist wichtig, weil die Asymptote ja nicht für [mm] \pm \infty [/mm] gilt. Ansonsten sehe ich keine weiteren Besonderheiten
> 2) Alle Kurven der Schar weisen einen Tiefpunkt auf.
> Das ist alles, was mir auffällt. Gibt es noch weitere
> Eigenschaften?
jetzt stimmts.
> b)
> 1. Ableitung: f'_{t}= [mm]1-0,5^{-0,5x+t}[/mm]
Nun stimmt auch diese Ableitung
>
> f'_{t}=0
> [mm]1-0,5^{-0,5x+t}=0[/mm]
> [mm]e^{-0,5x+t}=2[/mm] | Logarithmieren
> -0,5x+t=ln(2)
> x= [mm]ln(\bruch{1}{4})-t[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Ableitung stimmt immer noch nicht ganz, denn du hast die 2 beim t vergessen.
$ -0,5x+t=ln(2) $ die Zeile ist korrekt
Daraus folgt: $ [mm] x=ln(2)*(-2)-t*(-2)=ln(2^{-2})+2t=ln(\bruch{1}{4})+2t$
[/mm]
Daher ergibt sich auch eine neue y-Koordinate und andere Werte, rechne nochmal nach
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Tut mir Leid. Ich habe mich vertippt und eine falsche Anfangsfunktion angegeben!
Die richtige Funktion lautet:
[mm] f_{t}(x)= x+e^{-0,5x^{t}}
[/mm]
(also Plus statt Komma)!
Daher hast du auf deinem GTR auch was anderes gesehen …
Ich verbessere das mal auch im ersten Post!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Do 10.12.2009 | | Autor: | Adamantin |
ARG, das ist aber verdammt ärgrlich, schäm dich! Tust du? nagut...
Ja moment, ist es jetzt x+t oder [mm] x^t [/mm] im Exponenten???
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Schon wieder falsch geschrieben! ^^
Ich glaube, ich hab ne +_Schwäche … Tut mir echt leid.
Also da steht: x+t
-->
[mm] f_{t}(x)= x+e^{-0,5x+t}
[/mm]
Danke für die Geduld! 
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Also ich korrigier meine erste Antwort, sonst wirds zu kompliziert und das nächste Mal bitte keine neue Frage aufmachen, sondern eine Mitteilung schreiben ;)
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Kurz noch eine grundsätzliche Frage:
wenn ich z.B. ln(1/4) durch 2 teile
ist dass dann soviel wie 0,5*ln(1/4) und damit ln(1/2)
oder kann man das direkt rein verechnen als ln(1/8)?
ersteres, oder?
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Du hast es doch beim ersten mal auch direkt reingerechnet oder? Verstehe die Frage nicht ganz?? Genau das habe ich doch geschrieben, oder^^
Wir hatten ln(2) und rechnen geteilt durch -0,5, was mal -2 ist!
Also steht da $ln(2)*(-2)$ Nach den Logarithmengesetzten gilt aber:
[mm] $log(a^b)=b*log(a)$ [/mm] weshalb wir die -2 als Exponent hineinziehen können, was bewirkt, dass eine Zahl hoch -2 das gleiche ist wie 1 geteilt durch diese Zahl hoch 2 ist
Also auf deine Frage: Klar, direkt rein als Exponent, dann hast du eine Wurzel aus [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und das ist in der Tat 1/2 ^^
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So… endlich hab ich's!
[mm] T_{t}(ln(1/4)+2t|ln(1/4)+2t+2)
[/mm]
Die Ortkurve der TP:
y=x+2
(stimmt, da nachgeprüft mit GTR).
Danke für die Hilfe!
Jetzt nur noch die Frage nach den gemeinamen Punkten mit der x-Achse?
Wie löst man dort die Gleichung [mm] f_{t}(x)=0 [/mm] ?
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Da du das zurecht nicht mathematisch mit einfachen Mitteln bestimmen kannst, versuche mit dem TP zu argumentieren. Du hast ja sogar eine Ortskurve, also überlege dir einmal, wann es NST, denn das sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse geben kann und du wirst einen Zusammenhang mit der Ortskurve finden. Bzw einfacher gesagt, für welche t-Werte liegen die TP unterhalb der x-Achse und damit im negativen
Lösung: wenn du genug nachgedacht hast, wirst du erkennen, dass die entscheidende Gleichung die y-Koordinate der Tiefpunkte ist und nun lautet die Preisfrage, was muss für die y-Koordinate gelten? ^^
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Tut mir leid, aber ich komm nicht drauf.
Ich hab mir die Ortskurve und die Kurvenschar im GTR angeschaut und ein bisschen rumprobiert. Anfangs dachte ich für t<0; aber das stimmt doch nicht.
während es mit t=-0,5 noch Nullstellen gibt; hat der Graph z.B. mit t=-0,25 keine NS.
Aber irgendwie finde ich den Zusammenhang mit der Ortskurve nicht …
Kannst du das Rätsel auflösen?
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Also du hast die Gleichung für den TP, oder?
$ [mm] T_{t}(ln(1/4)+2t|ln(1/4)+2t+2) [/mm] $
Das habe ich mal aus deiner Antwort kopiert, obs richtig ist, weiß ich nicht bzw. habe es nicht überprüft, denke aber mal es wird stimmen. Jetzt interessiert uns ja, wann es NST gibt. Die kann es nur geben, wenn der TP unter der x-Achse liegt! Denn nur dann kann der Graph, da er ja streng monoton wachsend für x>TP ist, die x-Achse schneiden. Damit suchen wir die Punkte, für die der TP UNTER der x-Achse liegt. Das ist gleichbedeutend mit y<0
y-Koordinate: ln(1/4)+2t+2<0
Das solltest du auflösen und umstellen können, so dass du für t ein schönes, eindeutiges Ergebnis erhälst
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