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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Exp(z)
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Exp(z): exp(z)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mi 20.12.2006
Autor: Student2007

    _   _____
exp(z)= exp(z) und I exp(z) I = exp(Re z)

sind Betragsstriche......
ich soll zeigen das das gilt?
weiß bloß nicht wie...........
Gruß


        
Bezug
Exp(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mi 20.12.2006
Autor: Rene

Erstes kannst du wie folgt zeigen

Es gilt ja

$ z=u+iv $
$ [mm] \bar [/mm] z = u-iv $

Also kannst du schreiben

$ [mm] \overline{exp(u+iv)} [/mm] = [mm] \overline{exp(u)*exp(iv)} =\overline{exp(u)}*\overline{exp(iv)} [/mm] $

Es gilt nun

$ [mm] \overline{exp(u)} [/mm] = exp(u) $  
$ [mm] \overline{exp(iv)} [/mm] = [mm] \overline{cos(v)-i*sin(v)} [/mm] = cos(-v)+i*sin(-v) = exp(-iv) $

Somit erhälst du

$ exp(u)*exp(-iv) = exp(u-iv) = [mm] exp(\bar [/mm] z) $


Zweites Kannst du wie folgt zeigen

$ |exp(z)|=|epx(u)*exp(iv)|=|exp(u)|*|exp(iv)| $

es gilt ja

$ exp(iv) = cos(v)+i*sin(v) $
$ |exp(iv)| = |cos(v)+i*sin(v)| = [mm] \wurzel{cos²(v)+sin²(v)} [/mm] = 1 $

einsetzen ergibt

$ |exp(u)|*|exp(iv)| = |exp(u)| $

mit

$ exp(x) > 0 [mm] \quad ,x\in\IR [/mm] $

entfallen die Betragstriche und du erhälst

$ |exp(u)|=exp(u) = [mm] exp(\operatorname{Re}\{z\}) [/mm] $

MfG

Bezug
                
Bezug
Exp(z): hi
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 Mi 20.12.2006
Autor: Student2007

Hi,
danke sehr..........
Gruß

Bezug
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