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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:11 Mi 20.08.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | [mm] exp_{a} [/mm] stetig, dann gilt:
i) [mm] exp_{a}(x+y)=exp_{a}(x) \* exp_{a}(y) [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] ii)exp_{a}(n) [/mm] = [mm] a^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IZ [/mm] |
So ich habe gerade versucht dieses Beweise zu machen, wir haben im Skript nämlich nur notiert: i) nach Funktionalgleichung und ii) per Induktion.
So bei i) hab ich angefangen mit den Gleichungen [mm] exp_{a}(x) [/mm] = exp (x - ln a) und exp(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}.
[/mm]
Also: [mm] exp_{a} [/mm] (x+y) = exp(x+y-ln a) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x+y-ln a)^{n}}{n!}
[/mm]
und von der anderen Seite angefangen: [mm] exp_{a}(x) \* exp_{a}(y) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(y-ln a)^{n}}{n!} \* \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x-ln a)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{[(y-ln a) \* (x-ln a)]^{n}}{2(n!)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(yx-y \* ln a - x \* ln a + ln^{2} a )^{n}}{2(n!)}
[/mm]
so, an diesem Punkt komme ich net so richtig weiter, wie ich die beiden Teile zusammenfügen kann...
Und bei ii) habe ich mit der Induktion angefangen, aber für
n=0: [mm] exp_{a}(0) [/mm] = exp(0-ln a) = exp (-ln a) = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] (nach derive) [mm] \not= [/mm] 1 (wenn a nicht gerade 1 ist)
n=1: [mm] exp_{a}(1) [/mm] = exp (1-ln a) = [mm] \bruch{e}{a} \not= [/mm] a
n=2: [mm] exp_{a}(2) [/mm] = exp (2-ln a) = [mm] \bruch{e^{2}}{a} \not= a^{2}... [/mm] logisch würde sich dies Reihe fortsetzen, aber dann komm ich nie auf [mm] a^{n}. [/mm]
lg,
Caro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mi 20.08.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | [mm] exp_{a} [/mm] stetig, dann gilt:
i) [mm] exp_{a}(x+y)=exp_{a}(x) \* exp_{a}(y) [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] ii)exp_{a}(n) [/mm] = [mm] a^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IZ [/mm] |
So ich habe gerade versucht dieses Beweise zu machen, wir haben im Skript nämlich nur notiert: i) nach Funktionalgleichung und ii) per Induktion.
So bei i) hab ich angefangen mit den Gleichungen [mm] exp_{a}(x) [/mm] = exp (x - ln a) und exp(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}.
[/mm]
Also: [mm] exp_{a} [/mm] (x+y) = exp(x+y-ln a) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x+y-ln a)^{n}}{n!}
[/mm]
und von der anderen Seite angefangen: [mm] exp_{a}(x) \* exp_{a}(y) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(y-ln a)^{n}}{n!} \* \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x-ln a)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{[(y-ln a) \* (x-ln a)]^{n}}{2(n!)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(yx-y \* ln a - x \* ln a + ln^{2} a )^{n}}{2(n!)}
[/mm]
so, an diesem Punkt komme ich net so richtig weiter, wie ich die beiden Teile zusammenfügen kann...
Und bei ii) habe ich mit der Induktion angefangen, aber für
n=0: [mm] exp_{a}(0) [/mm] = exp(0-ln a) = exp (-ln a) = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] (nach derive) [mm] \not= [/mm] 1 (wenn a nicht gerade 1 ist)
n=1: [mm] exp_{a}(1) [/mm] = exp (1-ln a) = [mm] \bruch{e}{a} \not= [/mm] a
n=2: [mm] exp_{a}(2) [/mm] = exp (2-ln a) = [mm] \bruch{e^{2}}{a} \not= a^{2}... [/mm] logisch würde sich dies Reihe fortsetzen, aber dann komm ich nie auf [mm] a^{n}. [/mm]
lg,
Caro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
STOPP: Hab gerade geshene, dass das ja gar nicht exp(x-ln a) is, sonder exp(x [mm] \* [/mm] ln a)! Ich probiers nochma...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Mi 20.08.2008 | | Autor: | cares87 |
| Aufgabe | [mm] exp_{a} [/mm] stetig, dann gilt:
i) [mm] exp_{a}(x+y)=exp_{a}(x) \* exp_{a}(y) [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] ii)exp_{a}(n) [/mm] = [mm] a^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IZ [/mm] |
So ich habe gerade versucht dieses Beweise zu machen, wir haben im Skript nämlich nur notiert: i) nach Funktionalgleichung und ii) per Induktion.
So bei i) hab ich angefangen mit den Gleichungen [mm] exp_{a}(x) [/mm] = exp (x - ln a) und exp(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}.
[/mm]
Also: [mm] exp_{a} [/mm] (x+y) = exp(x+y-ln a) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x+y-ln a)^{n}}{n!}
[/mm]
und von der anderen Seite angefangen: [mm] exp_{a}(x) \* exp_{a}(y) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(y-ln a)^{n}}{n!} \* \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x-ln a)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{[(y-ln a) \* (x-ln a)]^{n}}{2(n!)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(yx-y \* ln a - x \* ln a + ln^{2} a )^{n}}{2(n!)}
[/mm]
so, an diesem Punkt komme ich net so richtig weiter, wie ich die beiden Teile zusammenfügen kann...
Und bei ii) habe ich mit der Induktion angefangen, aber für
n=0: [mm] exp_{a}(0) [/mm] = exp(0-ln a) = exp (-ln a) = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] (nach derive) [mm] \not= [/mm] 1 (wenn a nicht gerade 1 ist)
n=1: [mm] exp_{a}(1) [/mm] = exp (1-ln a) = [mm] \bruch{e}{a} \not= [/mm] a
n=2: [mm] exp_{a}(2) [/mm] = exp (2-ln a) = [mm] \bruch{e^{2}}{a} \not= a^{2}... [/mm] logisch würde sich dies Reihe fortsetzen, aber dann komm ich nie auf [mm] a^{n}. [/mm]
lg,
Caro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
STOPP: Hab gerade geshene, dass das ja gar nicht exp(x-ln a) is, sonder exp(x [mm] \* [/mm] ln a)! Ich probiers nochma...
Ok, hat sich erledigt...
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