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Forum "Folgen und Reihen" - Explizite Form: Rekursion
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Explizite Form: Rekursion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Sa 20.06.2009
Autor: djd92l

Aufgabe
Stellen Sie [mm] a_n [/mm] in geschlossener Form dar.

[mm] $$a_n [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] 8*a_{n-2} [/mm] - [mm] 12*a_{n-3}$$ [/mm] Anfangswerte:

[mm] a_0 [/mm] = 1
[mm] a_1 [/mm] = 0
[mm] a_2 [/mm] = -1

Hallo!

Bei dieser Aufgabe komme ich nicht so recht weiter, da ich das Problem habe, nicht alle Koeffizienten ausrechnen zu können.

Begonnen habe ich damit, dass ich [mm] a_n [/mm] = [mm] x^n [/mm] gesetzt habe.

[mm] \Rightarrow x^n=x^{n-1}+8*x^{n-2}-12*x^{n-3} [/mm]

[mm] \Rightarrow 1=\bruch{1}{x}+\bruch{8}{x^2}-\bruch{12}{x^3} [/mm]

[mm] \Rightarrow x^3-x^2-8*x+12=0 [/mm]

Um die Nullstellen zu berechnen "rate" ich die erste, und zwar [mm] x_0=2. [/mm]

Jetzt führe ich eine Polynomdivision durch, um auf die möglichen Restlichen Nullstellen zu finden:

[mm] x^3-x^2-8*x+12/(x-2)=x^2+x-6 [/mm]

[mm] \Rightarrow x_0=2 [/mm] und [mm] x_1=-3 [/mm] .


Jetzt tritt mein Problem auf. Ich muss ja die explizite Form in der Gestalt

[mm] a_n=A*{x_0}^n+B*{x_1}^n+C*{x_2}^n [/mm]

mit $$A, B, C [mm] \in \IR$$ [/mm] berechnen.

Ich habe aber nur 2 Nullstellen gefunden, so dass ich ein Gleichungssystem zur Lösung der Koeffizienten nicht benutzen kann (Ich brauche ja mindestens 3 Nullstellen dafür).

Hätte ich 3 Nullstellen gefunden, sähe das so aus (Einsetzen der Anfangswerte):

$1=A+B+C$
[mm] 0=2*A-3*B+x_3*C [/mm]
[mm] -1=4*A+9*B+{x_3}^2*C [/mm]

Naja, wie gesagt, das LGS kann ich nicht lösen, mir fehlt eine Nullstelle.

Das ich irgendwas falsch mache, ist klar :-) .
Es wäre sehr schön, wenn mir jemand sagen könnte, was genau ich falsch mache/nicht bedenke o.ä. .

Viele Grüße und schon mal vielen Dank für eure Mühe,

djd92l

P.S.: Ich habe die Frage nur in diesem Forum gestellt :-)

        
Bezug
Explizite Form: Rekursion: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Sa 20.06.2009
Autor: generation...x

Du hast 3 Nullstellen - nur die eine ist doppelt.

Bezug
                
Bezug
Explizite Form: Rekursion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:35 Sa 20.06.2009
Autor: djd92l

Hi,

wenn ich den Graphen zeichne, geht er durch die x=-3 und x=2, an der 2 ist jedoch eine Extremstelle, so dass diese Tatsächlich eine Doppelte Nullstelle ist. Darauf hätt' ich echt kommen können...

Ok, dann ergibt sich folgendes LGS:

$1=A+B+C$
$0=2*A+2*B-3*C$
$-1=4*A+4*B+9*C$

dieses ist jedoch nicht lösbar, da eine Ungleichung entsteht. Nachgeprüft mit einem Matheprogramm.

Heißt das, dass die explizite Darstellung für diese Rekursion nicht möglich ist?

Viele Grüße,

djd92l

Bezug
                        
Bezug
Explizite Form: Rekursion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 22.06.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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