Explizite Form bestimmen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 15.10.2008 | | Autor: | yildi |
| Aufgabe | [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] sind reele zahlen
[mm]a_{n}[/mm] ist rekursiv definiert: [mm]a_{n-1} + a_{n-2}[/mm] |
Hallo!
Ich möchte von der oben stehenden rekursiven Folge die explizite Form bestimmen. [mm]a_{0}[/mm] habe ich erstmal 0 gesetzt und [mm]a_{1}[/mm] auf 1, damit ich eine wertetabelle erhalte, um eine regelmäßigkeit zu erkennen.
n [mm]a_{n}[/mm]
2 [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
3 [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
4 [mm]\bruch{5}{8}[/mm]
5 [mm]\bruch{11}{16}[/mm]
6 [mm]\bruch{21}{32}[/mm]
7 [mm]\bruch{43}{64}[/mm]
8 [mm]\bruch{85}{128}[/mm]
den zusammenhang im nenner konnte ich ja leicht erkennen: [mm]2^{n-1}[/mm]
im zähler konnte ich bislang allerdings nur erkennen, dass immer der vorherige zähler verdoppelt wird, und bei ungeraden n's eine 1 addiert wird und bei geraden n's subtrahiert wird ( [mm] +(-1)^{n} [/mm] ). hat vielleicht einer eine idee, wie der zusammenhang lauten könnte? :)
vielen vielen dank schonmal für eure hilfe!
Phillip
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mi 15.10.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] sind reele zahlen
> [mm]a_{n}[/mm] ist rekursiv definiert: [mm]a_{n-1} + a_{n-2}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich möchte von der oben stehenden rekursiven Folge die
> explizite Form bestimmen. [mm]a_{0}[/mm] habe ich erstmal 0 gesetzt
> und [mm]a_{1}[/mm] auf 1, damit ich eine wertetabelle erhalte, um
> eine regelmäßigkeit zu erkennen.
Wieso kommst du auf Brüche?
Aus [mm] a_0=0, a_1 [/mm] =1 und [mm] a_n=a_{n-1}+a_{n-2} [/mm] folgt
[mm] a_2=1, a_3=2, a_4=3, a_5=5; a_6=8 [/mm] (also die Fibonacci-Folge).
Gruß Abakus
>
> n [mm]a_{n}[/mm]
>
> 2 [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> 3 [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> 4 [mm]\bruch{5}{8}[/mm]
>
> 5 [mm]\bruch{11}{16}[/mm]
>
> 6 [mm]\bruch{21}{32}[/mm]
>
> 7 [mm]\bruch{43}{64}[/mm]
>
> 8 [mm]\bruch{85}{128}[/mm]
>
> den zusammenhang im nenner konnte ich ja leicht erkennen:
> [mm]2^{n-1}[/mm]
>
> im zähler konnte ich bislang allerdings nur erkennen, dass
> immer der vorherige zähler verdoppelt wird, und bei
> ungeraden n's eine 1 addiert wird und bei geraden n's
> subtrahiert wird ( [mm]+(-1)^{n}[/mm] ). hat vielleicht einer eine
> idee, wie der zusammenhang lauten könnte? :)
> vielen vielen dank schonmal für eure hilfe!
>
> Phillip
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 15.10.2008 | | Autor: | yildi |
Oh ich habe aus versehen den faktor vergessen :-P
so lautet es richtig: [mm] a_n= \bruch{1}{2} * (a_{n-1}+a_{n-2})[/mm]
tut mir leid, dass ich für verwirrung gesorgt habe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mi 15.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Oh ich habe aus versehen den faktor vergessen :-P
> so lautet es richtig: [mm]a_n= \bruch{1}{2} * (a_{n-1}+a_{n-2})[/mm]
>
> tut mir leid, dass ich für verwirrung gesorgt habe!
Ich sehe es leider nur rekursiv. Die Nennerfolge hast du ja explizit.
Für die Zählerfolge gilt [mm] z_n=2*z_{n-2}+z_{n-1}.
[/mm]
Das ist eine Abart der Fibonacci-Folge, deren explizite Darstellung schon kompliziert ist (siehe Binet-Formel).
Auf alle Fälle hat deine Folge einen Grenzwert. Da jedes Folgenglied das arithmetische Mittel der Vorgänger ist, entsteht eine Intervallschachtelung.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mi 15.10.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] sind reele zahlen
> [mm]a_{n}[/mm] ist rekursiv definiert: [mm]a_{n-1} + a_{n-2}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich möchte von der oben stehenden rekursiven Folge die
> explizite Form bestimmen. [mm]a_{0}[/mm] habe ich erstmal 0 gesetzt
> und [mm]a_{1}[/mm] auf 1, damit ich eine wertetabelle erhalte, um
> eine regelmäßigkeit zu erkennen.
>
> n [mm]a_{n}[/mm]
>
> 2 [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> 3 [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> 4 [mm]\bruch{5}{8}[/mm]
>
> 5 [mm]\bruch{11}{16}[/mm]
>
> 6 [mm]\bruch{21}{32}[/mm]
>
> 7 [mm]\bruch{43}{64}[/mm]
>
> 8 [mm]\bruch{85}{128}[/mm]
>
> den zusammenhang im nenner konnte ich ja leicht erkennen:
> [mm]2^{n-1}[/mm]
Oh Mann, dass ich da nicht eher draufgekommen bin:
Das ist doch eine simple geometrische Reihe!
1 - 1/2 = 1/2
1 - 1/2 + 1/4 = 3/4
1 - 1/2 + 1/4 - 1/8= 5/8
1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 = 11/16
usw.
Gruß Abakus
>
> im zähler konnte ich bislang allerdings nur erkennen, dass
> immer der vorherige zähler verdoppelt wird, und bei
> ungeraden n's eine 1 addiert wird und bei geraden n's
> subtrahiert wird ( [mm]+(-1)^{n}[/mm] ). hat vielleicht einer eine
> idee, wie der zusammenhang lauten könnte? :)
> vielen vielen dank schonmal für eure hilfe!
>
> Phillip
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