Explizite u. rekursive Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei eine Folge [mm] a_{n}=(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}. [/mm] Beschreibe diese Folge rekursiv. |
Hallo allerseits,
Das Übungsbuch gibt folgende Lösung an:
[mm] a_{1}=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=-\frac{n+1}{n}*a_{n}
[/mm]
Wie kommt man zu diesem Ergebnis kommt? Es folgt mein Versuch:
[mm]
a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+2}*\frac{n+1}{2}-(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}[/mm]
[mm]
a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+1}*((-1)^1*\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2})
[/mm]
[mm]
a_{n+1}=a_{n}+(-1)^{n+1}*(-\frac{2n+1}{2})
[/mm]
[mm]
a_{n+1}=(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}+(-1)^{n+1}*(-\frac{2n+1}{2})
[/mm]
[mm]
a_{n+1}=(-1)^{n+1}*(-\frac{n+1}{2})
[/mm]
Ich weiss nicht, wie ich weiter verfahren muss, um auf den obengenannten Lösungsterm zu kommen!
Und nebenbei: ist es überhaupt richtig, von einer "expliziten Folge" zu reden oder sollte es heißen "explizite Beschreibung einer Folge"?
Gruß,
Maximinus
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Zur Nebenfrage:
Es heißt explizite / rekursive [mm] [b]Bildungsvorschrift[\b] [/mm] einer Folge  .
Zur Aufgabe:
Du siehst an der Lösung: Es handelt sich um eine Folge, die rekursiv so gebildet wird, dass das vorherige Glied mit etwas multipliziert wird. Das heißt es bringt leider nichts, die Differenz [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] zu bilden.
Vielmehr geht es darum den Quotienten [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] zu bilden. Du wirst dann auf die Lösung kommen. Das Anfangsglied musst du dann entsprechend mit Hilfe der expliziten Formel bestimmen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:38 Mo 10.03.2008 | | Autor: | maximinus |
Vielen Dank euch beiden!
Gruß,
Maximinus
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Hallo maximinus,
> Es sei eine Folge [mm]a_{n}=(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}.[/mm] Beschreibe
> diese Folge rekursiv.
> Hallo allerseits,
>
> Das Übungsbuch gibt folgende Lösung an:
>
> [mm]a_{1}=\frac{1}{2}[/mm]
> [mm]a_{n+1}=-\frac{n+1}{n}*a_{n}[/mm]
>
> Wie kommt man zu diesem Ergebnis kommt? Es folgt mein
> Versuch:
>
> [mm]
a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+2}*\frac{n+1}{2}-(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}[/mm]
>
> [mm]
a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+1}*((-1)^1*\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2})
[/mm]
> [mm]
a_{n+1}=a_{n}+(-1)^{n+1}*(-\frac{2n+1}{2})
[/mm]
>
> [mm]
a_{n+1}=(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}+(-1)^{n+1}*(-\frac{2n+1}{2})
[/mm]
> [mm]
a_{n+1}=(-1)^{n+1}*(-\frac{n+1}{2})
[/mm]
>
> Ich weiss nicht, wie ich weiter verfahren muss, um auf den
> obengenannten Lösungsterm zu kommen!
Betrachte hier den Quotienten [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm].
Für den Starwert [mm]a_{1}[/mm] setzt [mm]n=1[/mm] ein.
>
> Und nebenbei: ist es überhaupt richtig, von einer
> "expliziten Folge" zu reden oder sollte es heißen
> "explizite Beschreibung einer Folge"?
>
> Gruß,
>
> Maximinus
Gruß
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