Explizites Eulerverfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 03.09.2014 | | Autor: | ttl |
| Aufgabe | Mit dem expliziten Euler-Verfahren werden zu diskreten Zeitpunkt [mm] t_{0} [/mm] < [mm] t_{1} [/mm] < [mm] t_{2} [/mm] < ...
Nährungswerte [mm] y_{i} [/mm] für die Funktionswerte [mm] y(t_{i}) [/mm] der Lösung y eines Anfangswertproblems
y'(t) = f(t,y(t)) für t >= [mm] t_{0},
[/mm]
[mm] y(t_{0}) [/mm] = [mm] y_{0}
[/mm]
nach folgender Vorschrift iterativ berechnet:
[mm] y_{i+1} [/mm] : = [mm] y_{i} [/mm] + [mm] \tau_{i}f(t,y_{i}) [/mm] i = 0, 1, 2, ...
Hierbei ist [mm] \tau_{i}:= t_{i+1} [/mm] - [mm] t_{i} [/mm] die Schrittweite des Verfahrens im i-ten Schritt.#
(a) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
y'(t) = 2t + 1 für t >= 0
y(0) = 0.
(b) Berechnen Sie mit dem expliziten Euler-Verfahren einen Näherungswert für y(1) für die konstanten Schrittweiten [mm] \tau [/mm] = 1, [mm] \tau [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, \tau [/mm] = [mm] \frac{1}{4}. [/mm] Hierbei bezeichnet y die Läsung des Anfangswertproblems aus Aufgabenteil (a). Bestimmen Sie den absoluten Fehler zu jedem Zeitunkt [mm] t_{i}.
[/mm]
(c) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
y'(t) = [mm] -y(t)^{2} [/mm] für t >= 1,
y(1) = 1 .
(d) Berechnen Sie mit dem expliziten Euler-Verfahren einen Näherungswert für y(2) für die konstanten Schrittweiten [mm] \tau [/mm] = 1, [mm] \tau [/mm] = [mm] \frac{1}{2}. [/mm] Hierbei bezeichnet y die Lösung des Anfangswertproblems aus Aufgabenteil (c). |
Hi,
ich habe die obige Aufgabe so weit bearbeitet. Ich wollte nachfragen, ob ich die Anfangswertprobleme und das Verfahren richtig angewendet habe. Außerdem steht eine Frage immer noch offen.
Im Aufgabenteil (b) wird nach dem absoluten Fehler zum Zeitpunkt [mm] t_{i} [/mm] gefragt. Was ist der absolute Fehler?
Hier meine Lösung:
(a) y'(t) = 2t +1 <=> [mm] \frac{dy}{dt} [/mm] = 2t+1 | [mm] \cdot [/mm] dt <=> dy = (2t +1)dt <=> [mm] \int{1 dy} [/mm] = [mm] \int{2t+1 dt} [/mm] <=> y + [mm] c_{1} [/mm] = [mm] t^{2} [/mm] + t + [mm] c_{2} [/mm] | [mm] -c_{1} [/mm] , wobei [mm] c_{1},c_{2}\in\IR [/mm] <=> y = [mm] t^{2} [/mm] + t + [mm] \underbrace{c_{2} - c_{1}}_{:= c} [/mm] <=> y = [mm] t^{2} [/mm] + t + c , wobei [mm] c\in\IR
[/mm]
AWP Problem: y(0) = [mm] 0^2 [/mm] + 0 + c = 0 => c =0 => y(t) = [mm] t^{2} [/mm] + t
(b) Schrittweite [mm] \tau [/mm] = 1:
[mm] y(0+1)_{1} [/mm] = y(1) = 0 + 1(2*0 + 1) = 1
Schrittweite [mm] \tau [/mm] = [mm] \frac{1}{2}:
[/mm]
[mm] y(0+\frac{1}{2})_{1} [/mm] = [mm] y(\frac{1}{2})_{1} [/mm] = 0 + [mm] \frac{1}{2}(2\cdot [/mm] 0 + 1) = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
[mm] y(\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2})_{2} [/mm] = [mm] y(1)_{2} =\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}(2\cdot\frac{1}{2} [/mm] + 1) = [mm] \frac{3}{2}
[/mm]
Schrittweite [mm] \tau [/mm] = [mm] \frac{1}{4}:
[/mm]
y(0 + [mm] \frac{1}{4})_{1} [/mm] = [mm] y(\frac{1}{4})_{1} [/mm] = 0 + [mm] \frac{1}{4}(2\cdot [/mm] 0 + 1) = [mm] \frac{1}{4}
[/mm]
[mm] y(\frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{4})_{2} [/mm] = [mm] y(\frac{1}{2})_{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{4}(2*\frac{1}{4} [/mm] + 1) = [mm] \frac{5}{8}
[/mm]
[mm] y(\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{4})_{3} [/mm] = [mm] y(\frac{3}{4})_{3} =\frac{5}{8} [/mm] + [mm] \frac{1}{4}(2*\frac{1}{2} [/mm] + 1) = [mm] \frac{5}{8} [/mm] + [mm] \frac{4}{8} [/mm] = [mm] \frac{9}{8}
[/mm]
[mm] y(\frac{3}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{2})_{4} =y(1)_{4} [/mm] = [mm] \frac{9}{8} [/mm] + [mm] \frac{1}{4}(2*\frac{3}{4} [/mm] + 1) = [mm] \frac{9}{8} [/mm] + [mm] \frac{5}{8} [/mm] = [mm] \frac{14}{8}
[/mm]
(c) y'(t) = [mm] -y(t)^{2} [/mm] <=> [mm] \frac{dy}{dt} [/mm] = [mm] -y^2 [/mm] <=> [mm] \int{\frac{1}{y^{2}} dy} [/mm] = [mm] \int{-1 dt} [/mm] <=> [mm] -y^{-1} [/mm] + [mm] c_{1} [/mm] = -t + [mm] c_{2} [/mm] , wobei [mm] c_{1}, c_{2}\in\IR [/mm] <=> [mm] -y^{1} [/mm] <=> -t + [mm] \underbrac{c_{2} - c_{1}}_{:= c} |\cdot [/mm] (-1) <=> [mm] y^{-1} [/mm] = t - c [mm] |\cdot [/mm] y | :(t-c) <=> [mm] \frac{1}{t-c} [/mm] = y
AWP:
y(1) = [mm] \frac{1}{1-c} [/mm] = 1 => c = 0 => y = [mm] \frac{1}{t}
[/mm]
(d) Schrittweite [mm] \tau [/mm] = 1:
[mm] y(1+1)_{1} [/mm] = [mm] y(2)_{1} [/mm] = 1 + [mm] 1(-y(1)^{2}) [/mm] =1+ [mm] (-(\frac{1}{1})^{2}) [/mm] = 1 + [mm] -(1)^{2} [/mm] = 0
Schrittweite [mm] \tau [/mm] = [mm] \frac{1}{2}:
[/mm]
[mm] y(1+\frac{1}{2})_{1} =y(\frac{3}{2})_{1} [/mm] = 1 + [mm] 1(-y(1)^{2}) [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{2}(-(\frac{1}{1})^2) [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{2}(-(1)^{2}) [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
[mm] y(\frac{3}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2})_{2} [/mm] = [mm] y(2)_{2} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{2}(-(y(\frac{1}{\frac{3}{2}})^2)) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2} (-(\frac{2}{3})^{2}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] - [mm] \frac{2}{9} [/mm] = [mm] \frac{5}{18}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mi 03.09.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Deine "Lösung" ist richtig, aber ein paar Anmerkungen:
[mm] \bullet [/mm] Verwende anstatt [mm] \gdw [/mm] lieber [mm] \Rightarrow, [/mm] oder noch besser [mm] \rightsquigarrow.
[/mm]
[mm] \bullet [/mm] "Verständlicher" wäre für mich sowas wie [mm] $y(0)\overset{\blue{!}}{=}0\Rightarrow [/mm] c=0$.
[mm] \bullet [/mm] Am Ende vielleicht noch [mm] $y(t)=t^2+t=t(t+1)\$ [/mm] zusammenfassen.
Bei der Teilaufgabe c) sind es quasi die selben Anmerkungen.
Beachte aber, dass deine Rechnung dort nur für [mm] $y(t)\not=0\$ [/mm] gilt.
Dementsprechend musst du das anmerken und "abfangen".
Den Rest der Aufgaben kann ich mir vielleicht morgen weiter
angucken, denn ich bin im Urlaub und dafür brauche ich Stift
und Papier, denn auf Anhieb verstehe ich deine Lösung nicht. 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:16 Do 04.09.2014 | | Autor: | ttl |
WOW!! Tolles Engangement!!!
Dass du dir selbst im Urlaub für so etwas die Zeit nimmst. Bemerkenswert.
Und natürlich danke für deine Anmerkungen! :)
Viele Grüße
ttl
PS.: Genieße deinen Urlaub!!!
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Hallo ttl,
> Mit dem expliziten Euler-Verfahren werden zu diskreten
> Zeitpunkt [mm]t_{0}[/mm] < [mm]t_{1}[/mm] < [mm]t_{2}[/mm] < ...
> Nährungswerte [mm]y_{i}[/mm] für die Funktionswerte [mm]y(t_{i})[/mm] der
> Lösung y eines Anfangswertproblems
> y'(t) = f(t,y(t)) für t >= [mm]t_{0},[/mm]
> [mm]y(t_{0})[/mm] = [mm]y_{0}[/mm]
> nach folgender Vorschrift iterativ berechnet:
> [mm]y_{i+1}[/mm] : = [mm]y_{i}[/mm] + [mm]\tau_{i}f(t,y_{i})[/mm] i = 0, 1, 2,
> ...
> Hierbei ist [mm]\tau_{i}:= t_{i+1}[/mm] - [mm]t_{i}[/mm] die Schrittweite
> des Verfahrens im i-ten Schritt.#
>
> (a) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
> y'(t) = 2t + 1 für t >= 0
> y(0) = 0.
>
> (b) Berechnen Sie mit dem expliziten Euler-Verfahren einen
> Näherungswert für y(1) für die konstanten Schrittweiten
> [mm]\tau[/mm] = 1, [mm]\tau[/mm] = [mm]\frac{1}{2}, \tau[/mm] = [mm]\frac{1}{4}.[/mm] Hierbei
> bezeichnet y die Läsung des Anfangswertproblems aus
> Aufgabenteil (a). Bestimmen Sie den absoluten Fehler zu
> jedem Zeitunkt [mm]t_{i}.[/mm]
>
> (c) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
> y'(t) = [mm]-y(t)^{2}[/mm] für t >= 1,
> y(1) = 1 .
>
> (d) Berechnen Sie mit dem expliziten Euler-Verfahren einen
> Näherungswert für y(2) für die konstanten Schrittweiten
> [mm]\tau[/mm] = 1, [mm]\tau[/mm] = [mm]\frac{1}{2}.[/mm] Hierbei bezeichnet y die
> Lösung des Anfangswertproblems aus Aufgabenteil (c).
> Hi,
>
> ich habe die obige Aufgabe so weit bearbeitet. Ich wollte
> nachfragen, ob ich die Anfangswertprobleme und das
> Verfahren richtig angewendet habe. Außerdem steht eine
> Frage immer noch offen.
> Im Aufgabenteil (b) wird nach dem absoluten Fehler zum
> Zeitpunkt [mm]t_{i}[/mm] gefragt. Was ist der absolute Fehler?
>
Mit dem absoluten Fehler ist wohl die Abweichung
des errechneten Wertes zum wirklichen Wert gemeint.
Der errechnete Wert ergibt sich aus dem Eulerverfahren.
Der wirkliche Wert ergibt sich aus der Lösung der DGL.
> Hier meine Lösung:
>
> (b) Schrittweite [mm]\tau[/mm] = 1:
> [mm]y(0+1)_{1}[/mm] = y(1) = 0 + 1(2*0 + 1) = 1
>
> Schrittweite [mm]\tau[/mm] = [mm]\frac{1}{2}:[/mm]
> [mm]y(0+\frac{1}{2})_{1}[/mm] = [mm]y(\frac{1}{2})_{1}[/mm] = 0 +
> [mm]\frac{1}{2}(2\cdot[/mm] 0 + 1) = [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> [mm]y(\frac{1}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{2})_{2}[/mm] = [mm]y(1)_{2} =\frac{1}{2}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{2}(2\cdot\frac{1}{2}[/mm] + 1) = [mm]\frac{3}{2}[/mm]
>
> Schrittweite [mm]\tau[/mm] = [mm]\frac{1}{4}:[/mm]
> y(0 + [mm]\frac{1}{4})_{1}[/mm] = [mm]y(\frac{1}{4})_{1}[/mm] = 0 +
> [mm]\frac{1}{4}(2\cdot[/mm] 0 + 1) = [mm]\frac{1}{4}[/mm]
> [mm]y(\frac{1}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})_{2}[/mm] = [mm]y(\frac{1}{2})_{2}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4}(2*\frac{1}{4}[/mm] + 1) = [mm]\frac{5}{8}[/mm]
> [mm]y(\frac{1}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})_{3}[/mm] = [mm]y(\frac{3}{4})_{3} =\frac{5}{8}[/mm]
> + [mm]\frac{1}{4}(2*\frac{1}{2}[/mm] + 1) = [mm]\frac{5}{8}[/mm] +
> [mm]\frac{4}{8}[/mm] = [mm]\frac{9}{8}[/mm]
> [mm]y(\frac{3}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{2})_{4} =y(1)_{4}[/mm] = [mm]\frac{9}{8}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{4}(2*\frac{3}{4}[/mm] + 1) = [mm]\frac{9}{8}[/mm] + [mm]\frac{5}{8}[/mm]
> = [mm]\frac{14}{8}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (d) Schrittweite [mm]\tau[/mm] = 1:
>
> [mm]y(1+1)_{1}[/mm] = [mm]y(2)_{1}[/mm] = 1 + [mm]1(-y(1)^{2})[/mm] =1+
> [mm](-(\frac{1}{1})^{2})[/mm] = 1 + [mm]-(1)^{2}[/mm] = 0
>
> Schrittweite [mm]\tau[/mm] = [mm]\frac{1}{2}:[/mm]
>
> [mm]y(1+\frac{1}{2})_{1} =y(\frac{3}{2})_{1}[/mm] = 1 + [mm]1(-y(1)^{2})[/mm]
> = 1 + [mm](-(\frac{1}{1})^2)[/mm] = 1 [mm]-(1)^{2}[/mm] =0
Hier muss es doch lauten:
[mm]y(1+\frac{1}{2})_{1} =y(\frac{3}{2})_{1} = 1 +\red{\bruch{1}{2}}(-y(1)^{2})[/mm]
> [mm]y(\frac{3}{2}[/mm] + [mm]\frac{1}{2})_{2}[/mm] = [mm]y(2)_{2}[/mm] = 1 +
> [mm]1(-y(\frac{1}{\frac{3}{2}}^2)[/mm] = 0 - [mm](\frac{2}{3})^{2}[/mm] =
> [mm]-\frac{4}{9}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Do 04.09.2014 | | Autor: | ttl |
Hi MathePower,
ich habe tatsächlich die falsche Schrittweite verwendet.
Nun ist es oben im Beitrag korrigiert und sollte stimmen.
Danke für die Erklärung mit dem absoluten Fehler und natürlich auch ein Dankeschön für das Überprüfen der Lösung.
Den Teil mit dem absoluten Fehler werde ich mir morgen anschauen.
Viele Grüße
ttl
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