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| Aufgabe | Betrachte
[mm] B=\pmat{-1&-2&0&0 \\ 1&-3&0&0 \\0&0&-1&2 \\ 0&0&4&-3 }
[/mm]
Zeigen Sie, dass diese Matrix sowohl ähnlich zu
[mm] B_{1}= \pmat{-2+i&0&0&0 \\ 0&-2-i&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 },
[/mm]
als auch zu
[mm] B_{2}= \pmat{-2&1&0&0 \\ -1&-2&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 }
[/mm]
ist.
Berechnen sie [mm] exp(tB_{1}) [/mm] und [mm] exp(tB_{2}) [/mm] und mit HIlfe einer dieser beiden auch exp(tB). |
Hallo,
ich habe angefangen [mm] exp(tB_{1}) [/mm] zu berechnen und komme dann mit [mm] T=\pmat{-i&i&0&0 \\ 1&1&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 }
[/mm]
auf [mm] exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}cos(t)&e^{-2t}sin(t)&0&0 \\ -e^{-2t}sin(t)&e^{-2t}cos(t)&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }
[/mm]
Meine Frage ist jetzt wie ich damit exp(tB) berechne. Muss ich [mm] exp(tB_{1})exp(tB)exp(tB_{1})^{-1} [/mm] berechnen?
Oder brauche ich dafür zwingend noch [mm] exp(tB_{2})?
[/mm]
Eigentlich brauche ich doch eine Matrix [mm] A\in [/mm] { M | 4x4 } mit exp(tB)= [mm] Aexp(tB_{1})A^{-1}. [/mm] Nur wie finde ich die?
Danke euch.
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte
> [mm]B=\pmat{-1&-2&0&0 \\ 1&-3&0&0 \\0&0&-1&2 \\ 0&0&4&-3 }[/mm]
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> Zeigen Sie, dass diese Matrix sowohl ähnlich zu
>
> [mm]B_{1}= \pmat{-2+i&0&0&0 \\ 0&-2-i&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 },[/mm]
>
> als auch zu
> [mm]B_{2}= \pmat{-2&1&0&0 \\ -1&-2&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 }[/mm]
>
> ist.
> Berechnen sie [mm]exp(tB_{1})[/mm] und [mm]exp(tB_{2})[/mm] und mit HIlfe
> einer dieser beiden auch exp(tB).
> Hallo,
>
> ich habe angefangen [mm]exp(tB_{1})[/mm] zu berechnen und komme dann
> mit [mm]T=\pmat{-i&i&0&0 \\ 1&1&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 }[/mm]
Was hat es mit T auf sich ?
> auf
> [mm]exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}cos(t)&e^{-2t}sin(t)&0&0 \\ &-e^{-2t}sin(t)&e^{-2t}cos(t)&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }[/mm]
Nein. [mm] B_1 [/mm] ist doch eine Diagonalmatrix ! Dann ist
[mm]exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}(cos(t)+isin(t)) & 0&0&0 \\ 0&e^{-2t}(cos(t)-isin(t))&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }[/mm]
Zuerst mußt Du die Ähnlichkeit von B und [mm] B_1 [/mm] zeigen. Zeige also, dass es eine invertierbare Matrix A gibt mit:
[mm] B=AB_1A^{-1}
[/mm]
Damit ist dann
[mm] e^{tB}=Ae^{tB_1}A^{-1}
[/mm]
FRED
>
> Meine Frage ist jetzt wie ich damit exp(tB) berechne. Muss
> ich [mm]exp(tB_{1})exp(tB)exp(tB_{1})^{-1}[/mm] berechnen?
> Oder brauche ich dafür zwingend noch [mm]exp(tB_{2})?[/mm]
> Eigentlich brauche ich doch eine Matrix [mm]A\in[/mm] { M | 4x4 }
> mit exp(tB)= [mm]Aexp(tB_{1})A^{-1}.[/mm] Nur wie finde ich die?
>
> Danke euch.
> Thomas
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> > Betrachte
> > [mm]B=\pmat{-1&-2&0&0 \\ 1&-3&0&0 \\0&0&-1&2 \\ 0&0&4&-3 }[/mm]
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> >
> > Zeigen Sie, dass diese Matrix sowohl ähnlich zu
> >
> > [mm]B_{1}= \pmat{-2+i&0&0&0 \\ 0&-2-i&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 },[/mm]
>
> >
> > als auch zu
> > [mm]B_{2}= \pmat{-2&1&0&0 \\ -1&-2&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 }[/mm]
>
> >
> > ist.
> > Berechnen sie [mm]exp(tB_{1})[/mm] und [mm]exp(tB_{2})[/mm] und mit HIlfe
> > einer dieser beiden auch exp(tB).
> > Hallo,
> >
> > ich habe angefangen [mm]exp(tB_{1})[/mm] zu berechnen und komme dann
> > mit [mm]T=\pmat{-i&i&0&0 \\ 1&1&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 }[/mm]
>
> Was hat es mit T auf sich ?
hab mich hier oben total verrechnet.
T ist meine Matrix aus Eigenvektoren zu den Eigenwerten von [mm] B_{1}.
[/mm]
>
>
> > auf
> > [mm]exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}cos(t)&e^{-2t}sin(t)&0&0 \\ &-e^{-2t}sin(t)&e^{-2t}cos(t)&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }[/mm]
>
> Nein. [mm]B_1[/mm] ist doch eine Diagonalmatrix !
Heisst das ich hätte mir meine Rechnerei sparen können? Also das T für die Berechnung von [mm] exp(tB_{1}) [/mm] garnicht gebraucht?
>
> [mm]exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}(cos(t)+isin(t)) & 0&0&0 \\ 0&e^{-2t}(cos(t)-isin(t))&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }[/mm]
>
>
>
> Zuerst mußt Du die Ähnlichkeit von B und [mm]B_1[/mm] zeigen.
> Zeige also, dass es eine invertierbare Matrix A gibt mit:
>
> [mm]B=AB_1A^{-1}[/mm]
Was ich jetzt gefunden habe ist:
Wenn ich die Matrix B diagonalisiere und dann zu den EW die EV bestimme, bilden die EV eine Basis des Raums
und somit die Spalten einer Matrix A welche dann die obige Bedingung erfüllt.
>
> Damit ist dann
>
> [mm]e^{tB}=Ae^{tB_1}A^{-1}[/mm]
>
> FRED
Also ich habe EW zur Matrix B
[mm] \lambda_{1}=-2+i
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-2-i
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=1
[/mm]
[mm] \lambda_{4}=-5
[/mm]
Also ist [mm] B_{1} [/mm] meine gesuchte Diagonalmatrix. Jetzt muss ich noch A bestimmen, was ich durch die EV zu den EW mache.
Ich komme auf folgende EV:
[mm] v_{1}=\vektor{1+i \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{1-i \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{4}=\vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Diese bilden die Spalten meiner Matrix A, also
[mm] A=\pmat{ 1+i & 1-i &0 &0 \\ 1 & 1&0&0 \\ 0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&2 }
[/mm]
Davon ist noch die Inverse zu berechnen.
Damit müsste dann
[mm] B=AB_1A^{-1}
[/mm]
gezeigt sein.
Da [mm] B_{1} [/mm] Diagonalmatrix ist kann ich doch einfach sagen:
[mm] exp(tB_{1})= \pmat{e^{(-2+i)t}&0&0&0 \\ 0&e^{(-2-i)t}&0&0 \\0&0&e^{1t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} } [/mm] oder?
Damit wäre das für [mm] B_{1} [/mm] gezeigt meiner Meinung nach.
Wie muss ich da denn bei [mm] B_{2} [/mm] vorgehen?
Die Eigenwerte von [mm] B_{2} [/mm] sind ja die gleichen wie bei B oder [mm] B_{1}.
[/mm]
Ist hier erst explizit [mm] exp(tB_{2}) [/mm] zu berechnen?
Danke schonmal. War bisher wohl eher auf dem Holzweg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 07.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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