Exponent teilbar < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Di 10.05.2011 | | Autor: | jesi0001 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] 11^{84} [/mm] - [mm] 5^{84} [/mm] durch 7 teilbar ist. |
Meine Lösung
[mm] 11^{7*12}- 5^{7*12} [/mm] --> Primfaktorzerlegung
84 = 2*2*3*7
da man die 84 in zerlegen kann und die 7 darin vorkommt --> teilbar durch 7
ist das korrekt ? oder gehe ich geradt total in die falsche Richtung ?
ist das Ausreichend für "Zeigen Sie...." ?
Vielen Dank
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Hallo jesi,
nein, das genügt nicht.
> Zeigen Sie, dass [mm]11^{84}[/mm] - [mm]5^{84}[/mm] durch 7 teilbar ist.
>
> Meine Lösung
> [mm]11^{7*12}- 5^{7*12}[/mm] --> Primfaktorzerlegung
> 84 = 2*2*3*7
> da man die 84 in zerlegen kann und die 7 darin vorkommt
> --> teilbar durch 7
Na, mit dieser Argumentation müsste auch [mm] 11^{14}-5^{14} [/mm] durch 7 teilbar sein. Ist es aber nicht. Es lässt den Rest 5.
Die Argumentation hat keinen sachlichen Hintergrund.
> ist das korrekt ? oder gehe ich geradt total in die falsche
> Richtung ?
> ist das Ausreichend für "Zeigen Sie...." ?
Nein, ganz und gar nicht.
Aber immerhin ist dies bekannt: [mm] 11^6\equiv 5^6 \equiv 1\mod{7} [/mm] (kleiner Fermat).
Grüße
reverend
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:39 Do 12.05.2011 | | Autor: | jesi0001 |
> > 84 = 2*2*3*7
> Aber immerhin ist dies bekannt: [mm]11^6\equiv 5^6 \equiv 1\mod{7}
[/mm]
> (kleiner Fermat).
Hallo reverend,
wie kommst du auf [mm] 11^6 [/mm]
kommt das dann doch aus der Zerlegung oben, da zu prüfen ist ob die beiden Zahlen durch 7 teilbar sind. und die 7 in der Primfaktorzerlegung enthalten ist ?
Fermat ist dann [mm] n^{p-1} \equiv 1\mod{7}
[/mm]
ich verstehe eben jetzt nicht wie du von 11^84 auf [mm] 11^6 [/mm] kommst
Viele Grüße
Jenny
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> > > 84 = 2*2*3*7
> > Aber immerhin ist dies bekannt: [mm]11^6\equiv 5^6 \equiv 1\mod{7}
[/mm]
> > (kleiner Fermat).
>
> Hallo reverend,
> wie kommst du auf [mm]11^6[/mm]
> kommt das dann doch aus der Zerlegung oben, da zu prüfen
> ist ob die beiden Zahlen durch 7 teilbar sind. und die 7 in
> der Primfaktorzerlegung enthalten ist ?
> Fermat ist dann [mm]n^{p-1} \equiv 1\mod{7}[/mm]
>
> ich verstehe eben jetzt nicht wie du von 11^84 auf [mm]11^6[/mm]
> kommst
>
> Viele Grüße
> Jenny
Hallo Jenny,
es ist doch [mm] 11^{84}=11^{6*14}=\left(11^6\right)^{14}
[/mm]
Damit kann man doch vielleicht etwas anfangen, was für
die vorliegende Aufgabe nützlich ist ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Do 12.05.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Hey
danke für die schnelle Antwort.
> es ist doch [mm]11^{84}=11^{6*14}=\left(11^6\right)^{14}[/mm]
ok das ist klar das verstehe ich auch aber warum wird die 14 dann einfach weg gelassen weil 14 mod 7 = 0 ist ?
Gruß Jenny
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> Hey
>
> danke für die schnelle Antwort.
>
> > es ist doch [mm]11^{84}=11^{6*14}=\left(11^6\right)^{14}[/mm]
>
> ok das ist klar das verstehe ich auch aber warum wird die
> 14 dann einfach weg gelassen weil 14 mod 7 = 0 ist ?
>
> Gruß Jenny
Reverend hat dir doch nur mal einen ersten Tipp gegeben,
nämlich den, dass die Beobachtung, dass 84 durch 6 (=7-1)
teilbar ist, nützlicher ist als die, dass 84 durch 7 teilbar ist.
Nach dem "kleinen Fermat" für die Primzahl p=7 kann man
nun doch schließen, dass [mm] 11^6\equiv1 [/mm] (mod 7). Daraus folgt weiter,
dass [mm]11^{84}=\left(11^6\right)^{14}\equiv1^{14}\equiv1[/mm] (ebenfalls mod 7).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Do 12.05.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Danke,
ich glaube ich habe es verstanden.
Gruß Jenny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Do 12.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Jenny,
> ich glaube ich habe es verstanden.
Das freut mich.
Ob der Exponent durch 7 teilbar ist, ist vollkommen unerheblich für diese Aufgabe. Es ist eher eine Falle, die der Aufgabensteller gelegt hat.
Auch hier ist die Teilbarkeit durch 7 unerheblich: [mm] ^\left(11^6\right)^14\equiv 1\mod{7}
[/mm]
Statt der 14 könnte da auch eine 12 oder eine 23 stehen. Dieser Exponent wird "weggelassen", weil man über [mm] 11^6=11^{7-1} [/mm] weiß, dass er [mm] \mod{7}\equiv{1} [/mm] ist, und [mm] 1^n=1, [/mm] auch in der Modulrechnung.
Der ![[]](/images/popup.gif) kleine Fermatsche Satz ist eines der wichtigsten und stärksten Instrumente in der Zahlentheorie, später dann in der deutlich erweiterten Form als Satz von Euler-Fermat. Es lohnt sich oft, erstmal nachzusehen, ob man den nicht irgendwie anwenden kann.
Auch die Verkettung von Potenzen ist ein wesentliches Mittel, so wie hier. Überleg Dir genau, welche Aussagen Du vielleicht einfach dadurch beweisen kannst, dass Du Exponenten geschickt zerlegst oder andere Potenzgesetze anwendest. Die gelten im Prinzip auch in der Modulrechnung, auch wenn sich Rechenarten wie Division oder gar Wurzelziehen schwierig gestalten. Wo man diese aber durch entsprechende Äquivalenzumformungen "umgehen" kann (hier also: Multiplikation oder Potenzieren), bleiben die Gesetze auch gültig.
Viel Erfolg bei Deiner Beschäftigung mit der Zahlentheorie. Es ist ein schönes Fach, oft wundersam und überraschend, aber gerade das macht für mich ihren Reiz aus.
Herzliche Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Sa 14.05.2011 | | Autor: | jesi0001 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] n^{12}\equiv [/mm] 1 (mod 72) für alle n element N mit ggt(n,72)=1 gilt. |
Hey,
erst einmal vielen lieben Dank für diese ausführliche Beschreibung und für deine Geduld mit mir.
Jetzt habe ich allerdings noch eine weitere Aufgabe bekommen.
ich denke dass ich bei dieser Aufgabe den Satz von Euler-Fermat verwenden muss. also
[mm] a^{ \delta(n)} \equiv [/mm] 1 mod n
ich habe jetzt hier bei hoch das Delta genommen, weil phi nicht vorhanden ist.
die beiden n müssen ja hier bei dieser Aufgabe nicht gleich sein oder ? weil das eine ist phi (n) und das andere ist n
Diese Aufgabe geht nur wenn n eine Primzahl ist oder ?
weil nur wenn n prim ist dann ist auch der ggt (n,72) = 1
????
oder muss ich den Exponent 12 in dem Fall auch wieder zerlegen ?
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> Zeigen Sie, dass [mm]n^{12}\equiv[/mm] 1 (mod 72) für alle n
> element N mit ggt(n,72)=1 gilt.
> ich denke dass ich bei dieser Aufgabe den Satz von
> Euler-Fermat verwenden muss. also
>
> [mm]a^{ \delta(n)} \equiv[/mm] 1 mod n
> ich habe jetzt hier bei hoch das Delta genommen, weil phi
> nicht vorhanden ist.
Phi ist schon "vorhanden", und zwar sogar in verschiedenen
Ausführungen:
[mm] $\phi$ $\Phi$ $\varphi$ [/mm] (drauf klicken !)
> die beiden n müssen ja hier bei dieser Aufgabe nicht
> gleich sein oder ? weil das eine ist phi (n) und das andere
> ist n
>
>
> Diese Aufgabe geht nur wenn n eine Primzahl ist oder ?
> weil nur wenn n prim ist dann ist auch der ggt (n,72) = 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt nicht. Es ist z.B.
ggT(72,25)= ggT(72,35)= ggT(72,49)= ggT(72,55)= 1
(keine Primzahlen dabei)
> oder muss ich den Exponent 12 in dem Fall auch wieder
> zerlegen ?
Es wäre wohl eine gute Idee, einmal [mm] \varphi(72) [/mm] zu bestimmen,
um zu schauen, ob Euler-Fermat wirklich etwas bringt !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 16.05.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Vielen Dank
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