Exponential-/Gumbelverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Sa 23.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | a) Sei X eine positive reelle Zufallsvariable mit [mm] X\stackrel{\mathrm{d}}=Exp(\alpha) [/mm] für ein [mm] \alpha>0. [/mm] Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Y:=-log(X).
Bemerkung: Die Verteilung von Y heißt Gumbelverteilung.
b) [mm] n\in \IN [/mm] Studenten versuchen unabhängig voneinander eine Übungsaufgabe zu lösen. Wir nehmen an, dass jeder Student eine zum Parameter [mm] \alpha (\alpha>0) [/mm] exponentialverteilte Zeit zur Lösung dieser Aufgabe braucht.
Berechnen Sie die Verteilung des Zeitpunktes, an dem der erste Student die Aufgabe löst. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo MatheRaum-Team,
ich würde hier gerne einen ersten Lösungsansatz präsentieren, allerdings bin ich bei dieser Aufgabe dermaßen ratlos, wie ich es bisher noch nicht kannte. Ich wäre daher für jede Hilfestellung dankbar, die mich in die richtige Richtung lenkt. Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Sa 23.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
zu a)
Sei X eine stetige ZV mit der Dichte [mm]f_X[/mm] und dem Träger [mm]D(X)[/mm], betrachte [mm]g: D(X) \to \mathbb{R}[/mm], so daß:
1. [mm]g[/mm] eindeutig von [mm] D(X) \quad in \quad Y=\{g(x) | x \in D(X) \}[/mm]
2. [mm] g^{-1}[/mm] stetig diffbar auf Y und die Ableitung dort überall von Null verschieden
dann ist:
[mm]f_{g(x)}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}|[/mm]
damit sollte zumindest die Teilaufgabe a) kein Problem sein.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Sa 23.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey vivo,
dank dir für die Antwort. Mir sagt aber leider der Begriff Träger nichts und damit erschließt sich mir der Rest auch nicht unbedingt.
Könntest du das ganze etwas vereinfacht erklären? Das wär klasse.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 23.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]g(x)=-ln(x)[/mm]
die exponentialverteilung hat die Dichte:
[mm]\lambda e^{-\lambda x}[/mm]
deshalb folgt laut obigem Satz:
[mm][mm] f_{g(x)}(y)=f_X(g^{-1}(y))|\frac{dg^{-1}(y)}{dy}|= \lambda e^{-\lambda e^{- y}} e^{-y}[/mm] [mm]
der Träger ist salopp gesagt der Bereich auf dem die Funktion nicht null ist.
Nun hast du die Dichte der Verteilung von -ln(x), dies ist die Gumbelverteilung mit den Parametern [mm] \lambda [/mm] und 0.
Im Aufgabenteil b) musst du nun die Verteilung des Minimums der unabhängigen ZV's bestimmen.
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