Exponential Funktionen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 So 05.02.2012 | | Autor: | Jarkiro |
| Aufgabe | Sei M eine 2×2-Matrix und t∈R.
Die Exponentialfunktion der
Matrix tM ist so definiert:
[mm] e^{tM}: \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(tM)^{k}}{k!}
[/mm]
Falls die Matrix M diagonalisierbar ist, d.h. falls es eine invertierbare Matrix S gibt derart, dass
M=S * [mm] \pmat{ \lambda1 & 0 \\ 0 & \lambda2 } [/mm] * [mm] S^{-1} (\lambda1,\lambda2bezeichnet [/mm] die Eigenwerte von M), dann ergibt die obige
Definition das bereits in der letzten Vorlesung verwendete Resultat:
[mm] e^{tM}=S [/mm] * [mm] \pmat{ e^{\lambda1*t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda2*t} } [/mm] x [mm] S^{-1}
[/mm]
Berechnen sie
[mm] e^{tM} [/mm] für
M = [mm] \pmat{ 0 & 5 \\ 5 & 0 } [/mm] |
Schönen guten Abend
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss aber leider gestehen, dass ich bei der entsprechenden Vorlesung aufgrund von Krankheit nicht anwesend war und die Aufgabe auch etwas unterschätzt habe, da ihr Zeitrahmen mit ca. 5 Minuten angegeben war.
Deshalb versuche ich jetzt mich selber etwas an der Aufgabe, und hoffe dass mir hier jemand unter die Arme greift.
Der erste reele Eigenwert der Matrix M ist 5, der andere -5. Da sich die Matrix S, welche sich auf darauf abbilden läßt durch die Eigenvektoren darstellen läßt ... habe ich diese ja auch. Die Eigenvektoren von M sind [mm] \vektor{1 \\ 1} \vektor{-1 \\ 1}. [/mm] Und da S ja als Spaltenvektoren die Eigenvektoren hat ist S = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }, S^{-1} =\pmat{ 0,5 & 0,5 \\-0,5 & 0,5 } [/mm] Wenn ich jetzt [mm] S^{-1} [/mm] * M * S rechne ... erhalte ich ja die Diagonalmatrix ... aber ab diesen Punkt ... fehlt mir etwas der Sprung zu der Definition, die ich halt überhaupt noch nicht in diesen Gedankenspiel unterbringen kann.
Die alternative ist es für mich, einfach [mm] e^{tM}=S [/mm] * [mm] \pmat{ e^{\lambda1*t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda2*t} } [/mm] x [mm] S^{-1} [/mm] zu nehmen, und wirklich da relativ banal entsprechend die Eigenwerte [mm] \lambda1 [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] einzusetzen, dann habe ich in der Matrix [mm] e^{\lambda1*t} [/mm] ... allerdings hätte ich dann ja immer noch das t in der Matrix, was ich nicht richtig einordnen kann.
Frage ist also, bringt mich einer der beiden Wege ansatzweiße an die Lösung von [mm] e^{t*M} [/mm] ?
Grüße
Jar
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 So 05.02.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
Dein einfacher Qwg mit S ist richtig, da du ja [mm] e^{tM} [/mm] suchst, muss t da drin bleiben.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 05.02.2012 | | Autor: | Jarkiro |
Das heißt ... die Antwort ist im Endeffekt
S* [mm] \vmat{ e^{-5*t} & 0 \\ 0 & e^{5*t} } [/mm] * [mm] S^{-1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Jarkiro,
> Das heißt ... die Antwort ist im Endeffekt
>
>
> S* [mm]\vmat{ e^{-5*t} & 0 \\ 0 & e^{5*t} }[/mm] * [mm]S^{-1}[/mm]
Hier musst Du noch die Matrix S einsetzen und ausmultiplizieren.
Dann ist das die Antwort.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Jarkiro |
Okay, es ist soweit alles klar und trotzdem habe ich das schleichende Gefühl, dass hier irgendwas falsch sein muss =/ Es wäre echt super wenn sich das nochmal jemand von euch angucken kann und vielleicht sogar die Zahlen absegnen
Also, die Matrix M = [mm] \pmat{ 5 & 0 \\ 0 & 5 }
[/mm]
hat als Eigenwerte : [mm] \lambda1 [/mm] = 5, [mm] \lambda2 [/mm] = -5. Als eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Die Matrix S hat als Spalten die Eigenvektoren, also S = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }, [/mm] die Inverse [mm] S^{-1} [/mm] ist dann = [mm] \pmat{ 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5 }
[/mm]
In die Gleichung
[mm] e^{tM} [/mm] = S * [mm] \pmat{ e^{\lambda1*t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda2*t} } [/mm] * [mm] S^{-1} [/mm] eingesetzt komme ich auf
[mm] e^{tM} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] * [mm] \vmat{ e^{5*t} & 0 \\ 0 & e^{-5*t} } [/mm] * [mm] \pmat{ 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5 }
[/mm]
Das führt dann zu :
[mm] e^{tM} [/mm] = [mm] \pmat{ e^{5t} & -e^{5t} \\ e^{5t} & e^{-5t} } [/mm] * [mm] \pmat{ 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5 }
[/mm]
und am Ende
[mm] e^{tM} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{e^{5t} + e^{-5t}}{2} & \bruch{e^{5t} - e^{-5t}}{2} \\ \bruch{e^{5t} - e^{-5t}}{2} & \bruch{e^{5t} + e^{-5t}}{2} }
[/mm]
Wie gesagt, es kommt mir vom Gefühl nicht richtig vor, und es wäre super wenn mich jemand beruhigen kann dass das alles stimmt, oder mir im zweifelsfall den Fehler zeigen kann.
Liebe Grüße
Jar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, es ist soweit alles klar und trotzdem habe ich das
> schleichende Gefühl, dass hier irgendwas falsch sein muss
> =/ Es wäre echt super wenn sich das nochmal jemand von
> euch angucken kann und vielleicht sogar die Zahlen
> absegnen
>
> Also, die Matrix M = [mm]\pmat{ 5 & 0 \\ 0 & 5 }[/mm]
>
> hat als Eigenwerte : [mm]\lambda1[/mm] = 5, [mm]\lambda2[/mm] = -5. Als
> eigenvektoren [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
> Die Matrix S hat als Spalten die Eigenvektoren, also S =
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 },[/mm] die Inverse [mm]S^{-1}[/mm] ist dann =
> [mm]\pmat{ 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5 }[/mm]
>
> In die Gleichung
>
> [mm]e^{tM}[/mm] = S * [mm]\pmat{ e^{\lambda1*t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda2*t} }[/mm]
> * [mm]S^{-1}[/mm] eingesetzt komme ich auf
>
> [mm]e^{tM}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm] * [mm]\vmat{ e^{5*t} & 0 \\ 0 & e^{-5*t} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5 }[/mm]
>
> Das führt dann zu :
>
> [mm]e^{tM}[/mm] = [mm]\pmat{ e^{5t} & -e^{5t} \\ e^{5t} & e^{-5t} }[/mm] *
> [mm]\pmat{ 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5 }[/mm]
>
> und am Ende
>
> [mm]e^{tM}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{e^{5t} + e^{-5t}}{2} & \bruch{e^{5t} - e^{-5t}}{2} \\ \bruch{e^{5t} - e^{-5t}}{2} & \bruch{e^{5t} + e^{-5t}}{2} }[/mm]
>
>
> Wie gesagt, es kommt mir vom Gefühl nicht richtig vor, und
> es wäre super wenn mich jemand beruhigen kann dass das
> alles stimmt, oder mir im zweifelsfall den Fehler zeigen
> kann.
Es stimmt.
Man hätte das auch ohne die Matrix S bekommen, wenn man beachtet:
[mm] M^{2n}=5^{2n}*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0
und
[mm] M^{2n-1}=5^{2n-1}*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
FRED
>
> Liebe Grüße
>
>
> Jar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Jarkiro |
Das heißt wenn der Fall eintreten würde das M keine Matrix S beinhaltet, weil sie nicht diagonalisierbar ist, z.b. im Fall
M = [mm] \pmat{ 0 & 5 \\ 0 & 0 } [/mm] (Hat Eigenwerte beide = 0)
dann wäre die Lösung
[mm] e^{tM} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ 0 & 5 \\ 0 & 0 } [/mm] = t * [mm] \pmat{ 1 & 5t \\ 0 & 1 }
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt wenn der Fall eintreten würde das M keine
> Matrix S beinhaltet, weil sie nicht diagonalisierbar ist,
> z.b. im Fall
>
> M = [mm]\pmat{ 0 & 5 \\ 0 & 0 }[/mm] (Hat Eigenwerte beide = 0)
>
> dann wäre die Lösung
>
> [mm]e^{tM}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] + t * [mm]\pmat{ 0 & 5 \\ 0 & 0 }[/mm]
> = t * [mm]\pmat{ 1 & 5t \\ 0 & 1 }[/mm]
nein, es ist [mm] e^{tM}=\pmat{ 1 & 5t \\ 0 & 1 }
[/mm]
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Jarkiro |
Natürlich, da war ein t zuviel.
Auf alle Fälle nochmal viiiiieeeeeeeeelen Dank für die freundliche und kompetente Unterstützung an euch drei =)
Grüße
Jar
|
|
|
|
