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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:40 Mo 06.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Wir hatten heute das Thema Likelihood-Quotienten-Tests und ich bin ein bisschen ratlos gerade...
Mir geht es besonders um den Fall, daß man eine einparametrige Exponentialfamilie vorliegen hat, also, daß man die Dichte darstellen kann als
[mm] $f(x)=\exp\left\{a(\theta)b(x)+c(\theta)+d(x)\right\}$, [/mm] wobei [mm] $\theta$ [/mm] der Parameter sein soll.
In der Vorlesung hatten wir nun als Beispiel die Normalverteilung bei bekannter Varianz.
Ich habe da als Exponentialfamiliendarstellung dieses hier:
[mm] $a(\mu)=\mu\cdot \sigma^{-2}$
[/mm]
$b(x)=x$
Die anderen lasse ich mal weg, weil sie nicht meine Frage betreffen.
In der Vorlesung hatten wir nun, [mm] $a(\mu)$ [/mm] genauso, jedoch [mm] $b(x)=n\overline{X}$. [/mm] Wie kann das sein? |
Hintergrund meiner Frage ist:
Wir wollten zeigen, daß der Gauß Test der beste Test ist für [mm] $H_0: \mu=\mu_0$ [/mm] vs. [mm] $H_1: \mu [/mm] > [mm] \mu_0$
[/mm]
Wenn bei der Exponentialfam.darstellung die Funktion a streng monoton steigend ist, ist angeblich die Funktion b ein monotoner Likelihood-Quotient.
Und irgendwie ist dann auch [mm] $t(x)=\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\mu_0}{\sigma}$ [/mm] monotoner Likelihoodquotient und daraus folgt dann (wieso??) daß der Gauß Test der beste Test ist.
Irgendwie fehlt mir gerade der Durchblick...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mo 06.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Mein Denkfehler bezüglich der Funktion b(x) war glaube ich, daß ich den eindimensionalen Fall meine und in der Vorlesung der mehrdimensionale Fall gemeint ist?
Schließlich bilde ich ich ja die Likelihood-Funktion und das bedeutet doch (wegen iid), daß ich
[mm] $f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot [/mm] . . . [mm] \cdot f(x_n)$ [/mm] rechnen muss, was ja bei exp darauf hinausläuft zu addieren.
Also müsste ich doch, wenn im eindimensionalen Fall
$b(x)=x$ ist, im n-dimensionalen Fall als Funktion b(x) in der Tat [mm] $\sum_{i=1}^{n}x_i$ [/mm] bekommen, was ja identisch ist mit [mm] $n\cdot \overline{X}$.
[/mm]
Vielleicht seh ich das jetzt richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mo 06.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich hoffe, daß überhaupt jemand versteht, was ich meine. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 08.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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