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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 So 17.06.2007 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | | Drücken sie [mm] z_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - j [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}, z_2= [/mm] 2j in Polarform (Eulerform) aus |
Ich komme bei diesen Aufgaben nicht weiter!
Ich weis nicht wie ich anfangen soll!
Ich weis nur: z= a+jb, wobei Re a und Im b ist.
Kann mir da einer Weiterhelfen?
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Hallo macio,
Wenn du eine kompexe Zahl z=a+bj hast,
so kann man die schreiben als [mm] z=r\cdot{}e^{j\phi}, [/mm] wobei r=|z| und [mm] \phi [/mm] das Argument von z ist.
Es ist [mm] \tan(\phi)=\frac{b}{a}, [/mm] also [mm] \phi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)
[/mm]
Statt das Argument auszurechnen, ist es oft sinnvoll, mal ne Skizze zu machen, da kann man den Winkel oft ablesen, wie zB. bei [mm] z_2
[/mm]
Kommste damit weiter?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 17.06.2007 | | Autor: | macio |
nicht ganz, könntest du das vll. anhand eines beispiels erlätern?
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Hi,
ok, nehmen wir die Komplexe Zahl [mm] z=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}j
[/mm]
Dann ist [mm] |z|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\frac{1}{2}
[/mm]
und [mm] \phi=Arg(z)=\arctan\left(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}\right)=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}
[/mm]
Also [mm] z=\frac{1}{2}\cdot{}e^{j\cdot{}\frac{\pi}{6}}
[/mm]
Gruß
schachuzpus
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Hi,
wenn du magst, schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
Da steht einiges an Erklärungen dazu
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 17.06.2007 | | Autor: | macio |
Hi, also erstmal Danke für die Antwort! Ich habe aber 2 kleine Fragen:
1) Wie bist du da drauf gekommen:
[mm] \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}
[/mm]
speziel jetzt auf: [mm] \frac{\pi}{6} [/mm]
2) wie gehe ich bei [mm] z_2= [/mm] 2j vor? Da wir ja nur den Im teil haben.
Vielleicht so: [mm] \vmat{Z} [/mm] = [mm] \wurzel{2^2} [/mm] = 2
Und weiter?
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Hallo nochmal,
> Hi, also erstmal Danke für die Antwort! Ich habe aber 2
> kleine Fragen:
> 1) Wie bist du da drauf gekommen:
> [mm]\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}[/mm]
>
> speziel jetzt auf: [mm]\frac{\pi}{6}[/mm]
das ist ein "bekannter" Wert - hab ich aber auch nachgeschlagen und das Bsp extra gebastelt, damit das so schön passt 
>
> 2) wie gehe ich bei [mm]z_2=[/mm] 2j vor? Da wir ja nur den Im teil
> haben.
> Vielleicht so: [mm]\vmat{Z}[/mm] = [mm]\wurzel{2^2}[/mm] = 2 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") genau!!
> Und weiter?
Na hier hilft überlegen ohne den blöden [mm] \arctan
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] ist rein imaginär, mit positivem Imaginärteil.
Stell dir vor, wie diese Zahl im Koordinatensystem liegt, dann haste direkt den Winkel bzw das Argument von [mm] z_2
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 17.06.2007 | | Autor: | macio |
hmm also ich komm nicht drauf....kann man das nicht einfach berechnen?
Sagen wir mal wir haben z= -1-j
dann ist ja der Im teil negativ, was wiederrum die sache etwas schwieriger darstellt. Der [mm] \vmat{z} [/mm] ist hier die [mm] \wurzel{3}. [/mm] Was wäre aber der exp??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 So 17.06.2007 | | Autor: | macio |
[mm] \wurzel{2} [/mm] sollte das sein
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Hallo macio,
bist du mal dem link gefolgt und hast gelesen, was auf Wikipedia dazu steht?
Nun, wenn du z=-1-j mal ins Koordinatensystem einzeichnet, ist offensichtlich, dass der Winkel von z = [mm] \frac{5}{4}\pi [/mm] ist.
Beim Argument schränkt man sich aber auf das Intervall [mm] [-\pi;\pi] [/mm] ein,
das nennt man dann Hauptargument oder so
also [mm] \frac{5}{4}\pi-\pi=\frac{1}{4}\pi\in [-\pi;\pi]
[/mm]
Die Winkel wiederholen sich ja alle nach ner vollen Drehung um [mm] 2\pi
[/mm]
Also wäre [mm] z=-1-j=\sqrt{2}\cdot{}e^{j\cdot{}\frac{\pi}{4}}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 17.06.2007 | | Autor: | macio |
Hi, ich hoffe ich habs verstanden! nehmen wir uns noch ein Beispiel vor:
z= 3 + 3j
[mm] \vmat{z} [/mm] = [mm] \wurzel{18}
[/mm]
[mm] exp(j\bruch{3\pi}{2})
[/mm]
Also: [mm] \wurzel{18} exp(j\bruch{3\pi}{2})
[/mm]
Stimmts???
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Hi,
Betrag stimmt, aber das Argument ist doch [mm] \frac{\pi}{4}, [/mm] wenn ich nicht irre:
z=3+3j liegt doch auf der 1. Winkelhalbierenden
[mm] \arctan\left(\frac{3}{3}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}
[/mm]
also [mm] z=\sqrt{18}\cdot{}exp\left(j\cdot{}\frac{\pi}{4}\right)
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 17.06.2007 | | Autor: | macio |
Ok, dann habe ich das mit dem exp nicht so richtig verstanden! Du sagtest dass es offensichtlich sei, den Winkel aus dem Koordinatenkreuz rauszulsen. Ich habe hingegen Probleme damit. Machen wir noch ein Beispiel bitte:
z= 2- 3j
[mm] \vmat{z} [/mm] = [mm] \wurzel{13}
[/mm]
exp [mm] \arctan \bruch{3}{2} [/mm] = 0,9827
Wenn man das in den Taschenrechner eingibt.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Mo 18.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du denn komplexe Zahlen in ein Koordinatensystenm eintragen? Z=2-3j liegt im 4. Quadranten.du verbindest den Pkt mit dem 0Punkt
Wenn du gegen den Uhrzeigersinn bei der pos x Achse anfängst ist der Winkel also zwischen [mm] 3/2\pi [/mm] und [mm] 2\pi.
[/mm]
Wenn du im Urzeigersinn, also mathematisch negativ läufst ist der Winkel zwischen 0 und [mm] -\pi/2.
[/mm]
jetzt trägst du x-und y Strecken zu dem Punkt ein, dann hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 und 2
der Tan ds Winkels ist also -3/2
also stellst du deinen Tr auf rad, tippst -1.5 ein und dann auf arctan oder inv-tan dann spuckt er -0,98.. aus.
das ist der Winkel. hier kein schönes Vielfaches von [mm] \pi.
[/mm]
also hast du [mm] z=\wurzel{13}*e^{-0,98j}
[/mm]
und mal dir die dinger anfangs immer auf, dann siehst du wenigstens ob du die Winkel etwa richtig hast.
Gruss leduart.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:57 So 17.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo schachuzipus
> Nun, wenn du z=-1-j mal ins Koordinatensystem einzeichnet,
> ist offensichtlich, dass der Winkel von z = [mm]\frac{5}{4}\pi[/mm]
> ist.
>
> Beim Argument schränkt man sich aber auf das Intervall
> [mm][-\pi;\pi][/mm] ein,
>
> das nennt man dann Hauptargument oder so
>
> also [mm]\frac{5}{4}\pi-\pi=\frac{1}{4}\pi\in [-\pi;\pi][/mm]
>
> Die Winkel wiederholen sich ja alle nach ner vollen Drehung
> um [mm]2\pi[/mm]
>
> Also wäre [mm]z=-1-j=\sqrt{2}\cdot{}e^{j\cdot{}\frac{\pi}{4}}[/mm]
falsch , das ist 1+j wie man leicht zeichnen kann
ich find [mm] 5/4\pi [/mm] gut genug, wenn unbedingt, kann man es durch [mm] -3/4\pi [/mm] ersetzen also [mm] 5/4\pi=5/4\pi-2\pi
[/mm]
>
Gruss leduart
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