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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Fr 15.02.2008 | | Autor: | moerty |
| Aufgabe | Aufgabe:
Es sei G(t)=10t*e^(-0,2t) und S(t)=-0,04t*(t-30) mit t ϵ [0;25] in Stunden und G(t)bzw. S(t) in 10000/h.
a) Zu welchem Zeitpunkt t0 sind die Geburten-und Sterberate gleich? Was bedeutet dies für die Population für t>t0? |
Hallo liebe Community.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie ihr seht, soll ich in der Aufgabe einen Schnittpunkt eine Exponentialfunktion finden. D.h. die Stelle, an der die Sterbe- und Geburtenrate gleich sind.
Ich habe gedacht, dass ich G(t)=S(t) setze und dann zur Variablen t auflöse und somit die Stelle auf der t-Achse bekomme (x-Achse).
Nach Auflösunf erhalte ich folgende Lösungen:
t=0 (was auch stimmt, den zu Anfang sind keine Bakterien vorhanden und daher koennen auch noch keine Sterben)
-30*e^(t/5)+t*e^(t/5)+250=0 (Schnittpunkt, der beiden Funktionen)
Bei dem 2. Ergebnis habe ich mein Problem, ich komme nicht auf eine eindeutige Stelle, wo sich beide FUnktionen schneiden.
Die Ergbenisse sind richtig, da ich einen CAS Rechner habe, mit dem ich die Gleichungen aufgelöst habe.
Vielleicht kann mir ja jmd. weiter helfen :)
Greetz moerty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 15.02.2008 | | Autor: | moerty |
| Aufgabe | | Es sei G(t)=10t*e^(-0,2t) und S(t)=-0,04t*(t-30) mit t "ϵ" [0;25] in Stunden und G(t)bzw. S(t) in 10000/h. |
In der Aufgabe wird nur ein Intervall von 0-25 Stunden betrachtet. Somit fällt der 3 Schnittpunkt der beiden Funktionen raus.
Bei dem 2 Schnittpunkt habe ich leider keine Idee, wie ich auf die Stelle kommen kann, in der sich beide Funktionen schneiden:
-30*e^(t/5)+t*e^(t/5)+250=0
(Graphisch wäre dieser Schnittpunkt an der Stelle 12,8). Nur weiß ich nicht, wie ich den Ausdruck umstellen kann. Der ln zur Basis e kann nicht auf die Summer angewendet werden.
Komme ich da vllt mit einer Substitution weiter: a= e^(t/5) ???
Gruß moerty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Fr 15.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du erstmal keine Summen sondern Produkte hast kannst du durch ln vereinfachen.
Es bleibt aber ne Gleichung der Form a+b*t=ln(30-t) übrig.
die kann man nur numerisch lösen, z. Bsp mit newtonverfahren. Jeder Versuch einer Substitution wird scheitern. Denn sonst gäb es ja ein einfaches Verfahren den ln einer Zahl zu bestimmen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Fr 15.02.2008 | | Autor: | moerty |
Ich verstehe leider nicht, wie du von meinem Ergebnis auf deine Vereinfachung durch den ln gekommen bist.
In meiner Form sind 3 Summanden. Meines Wissens nach, müsste ich diese trennen, um eine vereinfachung mit dem ln anwenden zu können?
Könntest du mir ansonsten deine Vereinfachung vllt etwas ausführlicher aufschreiben?
Greetz moerty
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Fr 15.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab da ein Produkt stehen:
[mm] 10*t*e^{0,2t}=0,04*t*(30-t)
[/mm]
ln10+lnt+ln0,2t=ln0,04+lnt+ln(30-t)
benutzt:ln(a*b)=lna+lnb
Gruss leduart
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