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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 21.06.2009 | | Autor: | ramo707 |
| Aufgabe | | Die Exponentialfunktion [mm] exp:\IR \to [/mm] (0,1) ist streng monoton wachsend und surjektiv. |
Hallo,
kann man so beweisen, dass die fkt str. mon. wachsend ist:
1. Fall: x>0 und [mm] x_{1}
Da jeder Summand der Reihe größer ist als der vorhergehende [mm] (x_{n}
2. Fall: Sei [mm] x_{1}-x_{2}>0.
[/mm]
Da für [mm] x\ge0 [/mm] str. mon. wachsend gilt, gilt>
[mm] e^-^{x_{1}}>e^-^{x_{2}}, [/mm] also [mm] e^{x_{1}}
z.z. bleibt noch: exp(x) ist surjektiv.
Angenommen exp(x) ist nicht surjektiv. Dann existiert y>0 mit a<y<b (a, [mm] b\in\IR), [/mm] so dass f(y) nicht im Bild liegt. Da exp(x) stetig ist, gilt nach dem Zwischenwertsatz, dass alle Werte zwischen f(a) und f(b) angenommen werden müssen. Also auch f(y). Widerspruch.
Ist der Beweis richtig so? Danke!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:26 Di 23.06.2009 | | Autor: | ramo707 |
Kann mir wirklich KEINER helfen? :((((
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> Die Exponentialfunktion [mm]exp:\IR \to[/mm] (0,1)
Hallo,
ich bin irritiert: wieso " [mm] \to [/mm] (0,1) ? Das ist doch Quatsch mit Soße.
> ist streng
> monoton wachsend und surjektiv.
> Hallo,
>
> kann man so beweisen, dass die fkt str. mon. wachsend ist:
>
> 1. Fall: x>0 und [mm]x_{1}
> Da jeder Summand der Reihe
Hier wäre es unbedingt erwähnenswert, von welcher Reihe Du sprichst.
Aufgrund meiner hervorragenden Kombinationsgabe habe ich es aber (glaube ich) herausgefunden...
> größer ist als der
> vorhergehende [mm](x_{n}
> ), gilt für alle x, dass f(xn)<f(xn+1). Also ist die
> Exponentialfunktion für alle x>0 streng monoton wachsend.
Das ist sehr undeutlich formuliert.
Was meinst Du mit "jeder Summand größer als der vorhergehende"?
Ich reime mir sowas zusammen:
Du betrachtest
[mm] exp(x)=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{x^i}{i} [/mm] und die Partialsummen
[mm] s_n(x):=\summe_{i=0}^n\bruch{x^i}{i}, [/mm] und Du stellst fest, daß für [mm] 0\le [/mm] x<y gilt [mm] s_n(x)
Soweit stimmt das auch.
Nun aber führst Du den Grenzübergang gegen [mm] \infty [/mm] aus, und hier folgt eben nur [mm] exp(x)\le [/mm] exp(y).
Die strenge Monotonie bekommst Du auf diese Weise also nicht.
Ich weiß ja nicht, was bei Euch alles dran war.
Entweder weißt Du (oder Du zeigst es), daß exp(d)>1 für d>0 gilt.
Dann nimmst Du 0< x<x+d und rechnest unter Zuhilfenahme der Funktionalgleichung vor exp(x+d)= .... > exp(x)
> z.z. bleibt noch: exp(x) ist surjektiv.
> Angenommen exp(x) ist nicht surjektiv. Dann existiert y>0
> mit a<y<b (a, [mm]b\in\IR),[/mm] so dass f(y) nicht im Bild liegt.
Nein, sowas kann es nicht geben. Da exp auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist, hat exp an jeder Stelle einen Funktionswert.
Schau nochmal nach, was "surjektiv" bedeutet.
Gruß v. Angela
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