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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 Mi 24.05.2006 | | Autor: | wimath |
| Aufgabe | Berechnen Sie exp(A) für A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3}
[/mm]
Hinweis: Benutzem Sie den Satz von Cayley-Hamilton |
Hallo!
ich komme bei dieser Aufgabe nicht zum richtigen Ergebnis.
So bin ich vorgegangen:
CP(A)= [mm] t^3 [/mm] - [mm] 6t^2
[/mm]
=> [mm] A^3 [/mm] = [mm] 6A^2
[/mm]
=> [mm] A^4 [/mm] = [mm] A^3 [/mm] * A = [mm] 6A^2 [/mm] * A = [mm] 6A^3 [/mm] = [mm] 6*6*A^2
[/mm]
[mm] A^2 [/mm] = 6*A (das habe ich einfach ausgerechnet) also kann ich als [mm] A^k [/mm] = 6^(k-1)*A
schreiben. Soweit so gut, aber exp(A)= [mm] \summe_{k=0}^{infty}A^k/k! [/mm] = [mm] A^0 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{infty}A^k/k!
[/mm]
[mm] =A^0 [/mm] + A [mm] \summe_{k=1}^{infty}6^{k-1}/k! [/mm] = [mm] A^0 [/mm] + A*(1/6) [mm] \summe_{k=1}^{infty}6^{k}/k! [/mm] = [mm] A^0 [/mm] + [mm] A*(1/6)*(\summe_{k=1}^{infty}6^{k}/k!) [/mm] -1)
= [mm] A^0 [/mm] + [mm] A*(1/6)*(e^6-1) [/mm] und da kommt eine komplizierte Matrix raus ich will es jetzt alles nicht ausschreiben, auf jeden
Fall kommt da nicht [mm] \pmat{ e^1 & e^1 & e^1 \\ e^2 & e^2 & e^2 \\ e^3 & e^3 & e^3} [/mm] raus, und das ist aber das Ergebis wenn ich
in Maple exp(A); eingebe. Kann mir jemand sagen was denn falsch ist, das Ergebinis von Maple oder meins, und falls meins, wo der Fehler ist.
Ich habe schon zig mal alles nachgerechnet und komme nicht auf den Fehler, vielleicht hab ich einen Denkfehler gemacht?
Also für Hinweise wäre ich dankbar
Gruss
wimath
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Do 25.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo wimath,
ich hab jetzt die Aufgabe nicht bis ins letzte durchdacht, aber ich meine, dass Du in Deinem Ansatz einen kleinen Fehler hast:
> CP(A)= [mm]t^3[/mm] - [mm]6t^2[/mm]
> => [mm]A^3[/mm] = [mm]6A^2[/mm]
> => [mm]A^4[/mm] = [mm]A^3[/mm] * A = [mm]6A^2[/mm] * A = [mm]6A^3[/mm] = [mm]6*6*A^2[/mm]
> [mm]A^2[/mm] = 6*A (das habe ich einfach ausgerechnet) also kann
Die Folgerung [mm]A^2 = 6*A[/mm] glaube ich so nicht! Wie kommst Du da drauf?
Wurzelziehen aus [mm]A^4 = 6*6*A^2[/mm] macht keinen Sinn (was ist die Wurzel aus einer Matrix????), und wenn man es aus [mm]A^3 = 6 A^2[/mm] folgern wollte müsste man von rechts mit [mm] A^{-1} [/mm] multiplizieren, aber A ist ja gar nicht invertierbar.....
Also wirst Du bei der Vereinfachung Deiner Taylor-Entwicklung wohl alle Potenzen bis einschließlich [mm] A^2 [/mm] beibehalten müssen und kannst Dich erst ab [mm] A^3 [/mm] auf niedrigere Potenzen zurückziehen (im Gegensatz zu Deinem Ansatz, wo Du nur bis [mm] A^1 [/mm] gehst)
Probiers also mal so....
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo piet!
> ich hab jetzt die Aufgabe nicht bis ins letzte durchdacht,
> aber ich meine, dass Du in Deinem Ansatz einen kleinen
> Fehler hast:
> > CP(A)= [mm]t^3[/mm] - [mm]6t^2[/mm]
> > => [mm]A^3[/mm] = [mm]6A^2[/mm]
> > => [mm]A^4[/mm] = [mm]A^3[/mm] * A = [mm]6A^2[/mm] * A = [mm]6A^3[/mm] = [mm]6*6*A^2[/mm]
> > [mm]A^2[/mm] = 6*A (das habe ich einfach ausgerechnet) also kann
>
> Die Folgerung [mm]A^2 = 6*A[/mm] glaube ich so nicht! Wie kommst Du
> da drauf?
Er hat ja dabeigeschrieben, das er es nachgerechnet hat. Und es stimmt tatsaechlich, wenn du [mm] $A^2$ [/mm] ausrechnest ist das gerade $6 [mm] \cdot [/mm] $...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo wimath!
> Fall kommt da nicht [mm]\pmat{ e^1 & e^1 & e^1 \\ e^2 & e^2 & e^2 \\ e^3 & e^3 & e^3}[/mm]
> raus, und das ist aber das Ergebis wenn ich
> in Maple exp(A); eingebe. Kann mir jemand sagen was denn
> falsch ist, das Ergebinis von Maple oder meins, und falls
> meins, wo der Fehler ist.
Maple wendet die Exponentialfunktion einfach auf alle Komponenten der Matrix an. Also kein Wunder, dass da was voellig anderes herauskommt. Insofern wird dein Ergebnis wohl richtig sein (wenn du dich da nicht verrechnet hast).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Do 25.05.2006 | | Autor: | wimath |
Hi! vielen Dank für eure Mühen, tatsächlich hat Maple alle Einträge einfach
Potenziert, der richtige Befehl lautet aber : exponential(A);
und da kommt dieselbe Matrix raus wie bei mir.
Gruss
wimath
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