Exponentialfunktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mi 22.09.2010 | | Autor: | katja123 |
| Aufgabe | | eine lotosblume bedeckt zum jetzigen zeitpunkt eine Teichfläche von [mm] 0,01m^{2}. [/mm] Die bedeckte teichfläche verdreifacht sich alle zwei Monate . Nach welcher Zeit (nach Beginn der Beobachtung) beträgt die bedeckte Teichfläche [mm] 10m^{2}? [/mm] |
also unser anfangskapital wäre ja dann 0.01 .
und unser kapital nach n jahren ist 10 .
alle zwei monate verdreifacht sich unser kapital
aber wie soll man das denn in die gleichung schreiben, dass es alle zwei monate verdreifacht wird.
[mm] K_{n}=k(1+\bruch{p}{100})^{n}
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo katja123,
> eine lotosblume bedeckt zum jetzigen zeitpunkt eine
> Teichfläche von [mm]0,01m^{2}.[/mm] Die bedeckte teichfläche
> verdreifacht sich alle zwei Monate . Nach welcher Zeit
> (nach Beginn der Beobachtung) beträgt die bedeckte
> Teichfläche [mm]10m^{2}?[/mm]
> also unser anfangskapital wäre ja dann 0.01 .
> und unser kapital nach n jahren ist 10 .
> alle zwei monate verdreifacht sich unser kapital
>
> aber wie soll man das denn in die gleichung schreiben, dass
> es alle zwei monate verdreifacht wird.
>
> [mm]K_{n}=k(1+\bruch{p}{100})^{n}[/mm]
Schreibe Dir das alles mal auf:
Zum Zeitpunkt t=0 ( t in Monaten) beträgt die bedeckte Teichfläche [mm]0.01m^{2}[/mm]
Zum Zeitpunkt t=2 beträgt die bedeckte Teichfläche [mm]3*0.01m^{2}=0.03 m^{2}[/mm]
Zum Zeitpunkt t=4 beträgt die bedeckte Teichfläche [mm]3*0.03m^{2}=3*3*0.01 m^{2}=0.09 m^{2}[/mm]
Jetzt erkennst Du bestimmt ein Bildungsgesetz, wie sich die bedeckte Teilfläche nach n Monaten ergibt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 22.09.2010 | | Autor: | katja123 |
Ich habe mir jetzt die sachen aufgeschrieben , aber weiß nicht ganz was mir das jetzt wirklich sagen soll ?
Lg Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:20 Do 23.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo,
wenn dus in 2, 4, 6 ,....Monaten weisst kannst dus dann nicht allgemein fuer x Monate hinschreiben?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Do 23.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich habe mir jetzt die sachen aufgeschrieben , aber weiß
> nicht ganz was mir das jetzt wirklich sagen soll ?
>
> Lg Kati
Hallo,
die einfachste Möglichkeit ist: "erfinde" deine eigene Zeiteinheit.
Nimm einfach 2 Monate = 1 Zeiteinheit.
Mit jeder Zeiteinheit verdreifacht sich die Fläche. Damit hast du ein ganz einfaches Bildungsgesetz für deine geometrische Folge.
Wenn du damit herausbekommst, wann (nach wie viel Zeiteinheiten) sich die Fläche vertausendfacht hat, rechnest du diese Zeiteinheiten wieder in Monate um.
Gruß Abakus
Erst am Ende
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 23.09.2010 | | Autor: | katja123 |
Meint ihr jetzt damit ich soll in meiner Gleichung für die eins eine zwei einsetzen?
Also ich bin ja nicht dumm oder soo, aber den sinn dieser aufgabe verstehe ich überhaupt nicht ...
könnt ihr mir bitte einen Denkansatz geben?
Lg
Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 23.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Meint ihr jetzt damit ich soll in meiner Gleichung für die
> eins eine zwei einsetzen?
> Also ich bin ja nicht dumm oder soo, aber den sinn dieser
> aufgabe verstehe ich überhaupt nicht ...
>
> könnt ihr mir bitte einen Denkansatz geben?
Also,
wenn du unbedingt an dieser Wachstumsformel für ein Guthaben mit Zinsen klebst, dann solltest du bedenken, dass eine Steigerung AUF das dreifache einem Zuwachs UM das zweifache, also um 200%, entspricht.
Damit könntest du für p den Wert 200 einsetzen.
Die Variable n beschreibt - wie von mir schon erklärt - dann nicht die Anzahl der Monate, sondenr die Anzahl der Zeiteinheiten "Doppelmonat".
Gruß Abakus
>
> Lg
> Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 23.09.2010 | | Autor: | katja123 |
was sagt mir ein doppelmonat?
muss ich jetzt z.B. 1 einsetzen und zum schluss erst verdoppeln ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Do 23.09.2010 | | Autor: | abakus |
> was sagt mir ein doppelmonat?
Sag "Zeiteinheit" dazu.
> muss ich jetzt z.B. 1 einsetzen und zum schluss erst
> verdoppeln ?
Vergiss das im Moment mal mit dem Verdoppeln.
Stelle endlich deine Gleichung auf,
welche Fläche man aus dem Anfangswert 0,01 mit 200% Zuwachs nach n Zeiteinheiten bekommt.
Gruß Abakus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 23.09.2010 | | Autor: | katja123 |
die gleichung wäre doch ,
10= [mm] 0,01(1+\bruch{200}{100})^{n}
[/mm]
-> 10= 0,01 [mm] (1+2)^{n} [/mm]
-> 10= 0,01 [mm] (3)^{n} [/mm] und jetzt minus 0,01
9,99= [mm] 3^{n} [/mm]
-> log _{3}9,99=n
richtig ?
|
|
|
| |
|
Hallo katja123,
> die gleichung wäre doch ,
> 10= [mm]0,01(1+\bruch{200}{100})^{n}[/mm]
> -> 10= 0,01 [mm](1+2)^{n}[/mm]
> -> 10= 0,01 [mm](3)^{n}[/mm] und jetzt minus 0,01
Hier musst Du doch durch 0,01 teilen.
>
> 9,99= [mm]3^{n}[/mm]
> -> log _{3}9,99=n
> richtig ?
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Do 23.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo katja123,
>
> > die gleichung wäre doch ,
> > 10= [mm]0,01(1+\bruch{200}{100})^{n}[/mm]
> > -> 10= 0,01 [mm](1+2)^{n}[/mm]
> > -> 10= 0,01 [mm](3)^{n}[/mm] und jetzt minus 0,01
>
>
> Hier musst Du doch durch 0,01 teilen.
Oder mal 100 nehmen, was auf das selbe herauskommt.
Merkst du wenigstens hinterher, welcher sinnlose Umweg die Verwendung der Zinsformel war?
Du hast einen Anfangswert 0,01.
Nach einer Zeiteinheit hast du 3*0,01.
Nach 2 Zeiteinheiten hast du [mm] 3*3*0,01=3^2*0,01.
[/mm]
Nach 3 Zeiteinheiten hast du [mm] 3*3*3*0,01=3^3*0,01
[/mm]
Nach n Zeiteinheiten hast du also [mm] 3^n*0,01, [/mm] und das sollen 10 ergeben.
Also:
[mm] 0,01*3^n=10. [/mm] Beide Seiten mal 100:
[mm] 1*3^n=1000.
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
> >
> > 9,99= [mm]3^{n}[/mm]
> > -> log _{3}9,99=n
> > richtig ?
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 23.09.2010 | | Autor: | katja123 |
also habe ich dann [mm] log_{3}1000=n [/mm]
dann wäre das ja 6,3
und weil wir doch aber diese komischen doppelzeiten oder werte hatten müssen wir die 6,3 noch verdoppeln
also 12,6
ist jetzt damit gemeint, dass die teichfläche 10quadratmeter groß ist in 12,6 monaten oder 12,6 zweier monate ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Do 23.09.2010 | | Autor: | abakus |
> also habe ich dann [mm]log_{3}1000=n[/mm]
> dann wäre das ja 6,3
Richtig, es dauert ca. 6,3 Zeiteinheiten.
Eine Zeiteinheit dauert 2 Monate.
>
> und weil wir doch aber diese komischen doppelzeiten oder
> werte hatten müssen wir die 6,3 noch verdoppeln
> also 12,6
> ist jetzt damit gemeint, dass die teichfläche
> 10quadratmeter groß ist in 12,6 monaten
Das ist richtig.
> oder 12,6 zweier
> monate ??
>
|
|
|
| |
|
> eine lotosblume bedeckt zum jetzigen zeitpunkt eine
> Teichfläche von [mm]0,01m^{2}.[/mm] Die bedeckte teichfläche
> verdreifacht sich alle zwei Monate . Nach welcher Zeit
> (nach Beginn der Beobachtung) beträgt die bedeckte
> Teichfläche [mm]10m^{2}?[/mm]
> also unser anfangskapital wäre ja dann 0.01 .
> und unser kapital nach n jahren ist 10 .
> alle zwei monate verdreifacht sich unser kapital
>
> aber wie soll man das denn in die gleichung schreiben, dass
> es alle zwei monate verdreifacht wird.
>
> [mm]K_{n}=k(1+\bruch{p}{100})^{n}[/mm]
Hallo Katja,
Mit dieser Formel (Zinseszinsformel) kann man im Prinzip
das exponentielle Wachstum einer beliebigen Größe be-
schreiben. Der im Bereich von Finanzen wichtige Begriff
des Zinsfußes p ist aber für die Beschreibung exponenti-
ellen Wachstums eher hinderlich und macht die Rechnungen
komplizierter als nötig. Die vorliegende Aufgabe kann man
mit einem einfacheren Ansatz einfacher lösen:
Ansatz: $\ A(t)\ =\ [mm] A(0)*r^t$
[/mm]
$t$ sei die Zeit (z.B. gemessen in Monaten). $A(t)$ sei der zum
Zeitpunkt $t$ von Lotosblumen bedeckte Anteil der Teichfläche,
gemessen in der Einheit [mm] $m^2$ [/mm] , und $r$ ist der Vermehrungsfaktor
pro Zeiteinheit.
So, nun haben wir eine ganz einfache Formel und können
nun einfach die bekannten Angaben in diese einsetzen.
Natürlich muss hier $A(0)=0.01$ sein. Ferner soll für $t=2$
(also eben nach 2 Monaten) $A(t)=A(2)=3*0.01=0.03$ sein.
Setze dies in die Ansatzgleichung ein und berechne aus der
entstehenden Gleichung den Wert von $r$ .
Setze diesen konkreten Wert von $r$ ein. Dann kannst du
die gestellte Frage angehen, indem du wieder die ent-
sprechende Gleichung $A(n)=10$ aufstellst und die bekannten
Größen einsetzt. Diese Gleichung muss nun nach $n$ aufge-
löst werden. ($n$ = gesuchte Zeitdauer in Monaten).
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
