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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k [/mm] (x)= k*x*e^(-x²/k), k#0.
a) Untersuchen Sie die Funtion [mm] f_k [/mm] auf Symmetrie, Nullstellen, Art und Lage relativer Extrempunkte sowie auf Wendepunkte in Abhängigkeit von k.
b) Ermitteln Sie eine Stammfunktion von [mm] f_k [/mm] und berechnen Sie den Flächeninhalt, der von dem Graphen [mm] f_3 [/mm] und der x-Achse begrenzt wird.
c)Ein Punkt eines im 1. Quadranten gelegenen rechtwinkligen Dreiecks ist der Ursprung. Ein zweiter Punkt P liegt auf dem Graphen von [mm] f_k [/mm] und der dritte Punkt, an dem sich der rechte Winkel befindet, liegt auf der x-Achse.
Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass P der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird und berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt. |
Hallo,
ich habe diese Hausaufgabe zu Montag aufbekommen und muss sie vor der Klasse vortragen, leider bin ich keine Leuchte in Mathe und ersuche dringend Hilfe bei euch. Es wäre wirklich wahnsinnig nett, wenn ihr mir die Lösungsansätze und Schritte erläutern würdet, damit ich die Rechnungen nachvollziehen kann. Mit der ersten Aufgabe hab ich bereits begonnen und folgende Ergebnisse erhalten: Symmetrie: Es liegt eine Punktsymmetrie vor.
f(-x)= k*x*e^(-x²/k) = k*(-x)*e^(-(-x²)/k)= -k*x*e^(x²/k)
f(-x)= -f(x) ->Punktsymmetrie
Nullstellen: f(x)=0= 0
Extrema: f´(x)=0
f´(x)= k*e^(-x²/k)
[mm] x_E_1,2=\pm \wurzel{k/2}=x
[/mm]
[mm] Wendepunkte:x_1=0 x_2,3= \pm \wurzel{3/2 k}
[/mm]
Weiter bin ich mit meinen Lösungen nicht gekommen, würdet ihr bitte meine Ergebnisse kontrollieren, ob ich richtig gerechnet habe? Das wäre lieb. Ich bedanke mich bei euch im Vorraus für eure Unterstützung zur Lösung der Aufgabe. Ich wünsch euch ein schönes Wochenende. Liebe Grüße, eure Devilluff
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Funktionenschar [mm]f_k[/mm] mit [mm]f_k[/mm] (x)=
> k*x*e^(-x²/k), k#0.
> a) Untersuchen Sie die Funtion [mm]f_k[/mm] auf Symmetrie,
> Nullstellen, Art und Lage relativer Extrempunkte sowie auf
> Wendepunkte in Abhängigkeit von k.
Mit der ersten Aufgabe hab ich bereits
> begonnen und folgende Ergebnisse erhalten: Symmetrie: Es
> liegt eine Punktsymmetrie vor.
> f(-x)= k*x*e^(-x²/k) = k*(-x)*e^(-(-x²)/k)= -k*x*e^(-x²/k)
> f(-x)= -f(x) ->Punktsymmetrie
Hallo,
das stimmt, die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Du solltest es etwas hübscher bzw. zwingender aufschreiben/vortragen:
Für Punktsymmetrie zum Ursprung ist zu zeigen f(-x)= -f(x).
Es ist [mm] f(-x)=k*(-x)*e^{-(-x²)/k}= -k*x*e^{-x²/k}=-f(x)
[/mm]
>
> Nullstellen: f(x)=0= 0
Damit meinst Du wohl, daß die Funktion eine Nullstelle bei x=0 hat.
Das stimmt, aber Du mußt es ordentlich aufschreiben/vortragen.
Wenn die Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle hat, gilt [mm] f(x_0)=0,
[/mm]
also [mm] k*x*e^{x_0²/k}=0.
[/mm]
Da [mm] k\not=0 [/mm] und [mm] e^{x_²/k}\not=0 [/mm] für alle x aus [mm] \IR [/mm] gilt,
folgt [mm] x_0=0.
[/mm]
Also hat die Funktion an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] eine Nullstelle.
>
> Extrema: f´(x)=0
Um die Extremwerte zu berechnen, muß zunächst die erste Ableitung berechnet werden und dann ihre Nullstelle bestimmt.
> f´(x)= k*e^(-x²/k)
Diese 1.Ableitung ist nicht richtig.
Du hast f(x)= [mm] \underbrace{k*x}_{=u}*\underbrace{e^{-x²/k}}_{v},
[/mm]
also ein Produkt zweier Funktionen, welches Du (zunächst) mit der Produktregel ableiten mußt,
also [mm] f'(x)=(k*x)'*(e^{-x²/k})+(k*x)*(e^{-x²/k})',
[/mm]
und um [mm] (e^{-x²/k})' [/mm] zu berechnen, benötigst Du die Kettenregel, innere*äußere Ableitung.
Wenn Du das hast, und die Nullstellen bestimmt, mußt Du noch nachschauen, ob Du hier Minima oder Maxima vorliegen hast (mit der 2.Ableitung).
Erst dann kommen die Wendepunkte dran (2.Ableitung=0).
Gruß v. Angela
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Meine Frage bezieht sich zur obigen angegebenen frage c und d. Wie ermittle ich die stammfunktion? bitte mit ausführlicher rechnung, damit ich ich den rechenweg nachvollziehen kann!!! danke deviluff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 So 18.03.2007 | | Autor: | devilluff |
Gegeben ist die Funktionenschar $ [mm] f_k [/mm] $ mit $ [mm] f_k [/mm] $ (x)= k*x*e^(-x²/k), k#0.
a) Untersuchen Sie die Funtion $ [mm] f_k [/mm] $ auf Symmetrie, Nullstellen, Art und Lage relativer Extrempunkte sowie auf Wendepunkte in Abhängigkeit von k.
b) Ermitteln Sie eine Stammfunktion von $ [mm] f_k [/mm] $ und berechnen Sie den Flächeninhalt, der von dem Graphen $ [mm] f_3 [/mm] $ und der x-Achse begrenzt wird.
c)Ein Punkt eines im 1. Quadranten gelegenen rechtwinkligen Dreiecks ist der Ursprung. Ein zweiter Punkt P liegt auf dem Graphen von $ [mm] f_k [/mm] $ und der dritte Punkt, an dem sich der rechte Winkel befindet, liegt auf der x-Achse.
Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass P der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird und berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt.
sorry hab die aufgaben vergessen zur frage mit einzutragen.
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Hallo,
ein Tip zum Finden der Stammfunktion von $ [mm] f_k [/mm] $ (x)= k*x*e^(-x²/k).
Leite doch mal [mm] F(x)=e^{-x²/k} [/mm] ab.
Und nun überlege Dir, wie Du die "frisieren" kannst, damit die Ableitung $ [mm] f_k [/mm] $ (x)= k*x*e^(-x²/k) ergibt.
Gruß v. Angela
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