Exponentialgleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 23.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Gleichung:
[mm] \left(\bruch{2}{3}\right)^{\lg(x)}+\left(\bruch{3}{2}\right)^{\lg(x)}=\bruch{16}{3} [/mm] |
Hi!
Ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich hier nen Lösungsansatz hinbekomme, das einzige was mir bisjetzt eingefallen ist, wäre evtl die linke Seite auf einen Hauptnenner zu bringen:
[mm] \left(\bruch{4}{6}\right)^{\lg(x)}+\left(\bruch{9}{6}\right)^{\lg(x)}=\bruch{16}{3}
[/mm]
aber das bringt mich auch nicht wirklich weiter...
Mir fehlt das mathematische Werkzeug um diese Aufgabe zu lösen, aber ich weis auch nicht was es denn genau ist. Muss ich mehr über den logarithmus nachlesen?
Danke schonmal im vorraus und entschuldigung, dass ich keinen Lösungsansatz mit der Aufgabe geliefert habe.
Besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mi 23.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Gleichung:
>
> [mm]\left(\bruch{2}{3}\right)^{\lg(x)}+\left(\bruch{3}{2}\right)^{\lg(x)}=\bruch{16}{3}[/mm]
> Hi!
> Ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich hier nen
> Lösungsansatz hinbekomme, das einzige was mir bisjetzt
> eingefallen ist, wäre evtl die linke Seite auf einen
> Hauptnenner zu bringen:
>
> [mm]\left(\bruch{4}{6}\right)^{\lg(x)}+\left(\bruch{9}{6}\right)^{\lg(x)}=\bruch{16}{3}[/mm]
>
> aber das bringt mich auch nicht wirklich weiter...
>
> Mir fehlt das mathematische Werkzeug um diese Aufgabe zu
> lösen, aber ich weis auch nicht was es denn genau ist. Muss
> ich mehr über den logarithmus nachlesen?
> Danke schonmal im vorraus und entschuldigung, dass ich
> keinen Lösungsansatz mit der Aufgabe geliefert habe.
Du brauchst ein paar Rechenregeln/Ideen:
1) Es ist [mm] $a^b [/mm] = [mm] \exp(b \cdpt \lg(a))$, [/mm] womit [mm] $a^{\lg(b)} [/mm] = [mm] \exp(\lg(b) \lg(a)) [/mm] = [mm] b^{\lg(a)}$ [/mm] ist.
2) Es ist [mm] $\lg(\frac{a}{b}) [/mm] = [mm] -\lg(\frac{b}{a})$.
[/mm]
3) Substituiere $y := [mm] x^{\lg\left( \frac{2}{3} \right)}$; [/mm] dann bekommst du (mit den vorherigen Tipps) eine quadratische Gleichung in $y$ (wenn du die ganze Gleichung mit $y$ multiplizierst).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mi 23.07.2008 | | Autor: | tedd |
> 1) Es ist [mm] $a^b [/mm] = [mm] \exp(b \cdpt \lg(a))$, [/mm] womit [mm] $a^{\lg(b)} [/mm] = [mm] \exp(\lg(b) \lg(a)) [/mm] = [mm] b^{\lg(a)}$ [/mm] ist.
Wie komme ich darauf?
Bin mir nicht sicher aber ist es so richtig?
[mm] \left(\bruch{2}{3}\right)^{\lg(x)}+\left(\bruch{3}{2}\right)^{\lg(x)}=\bruch{16}{3}
[/mm]
mit [mm] a^{\lg(b)} [/mm] = [mm] \exp(\lg(b) \lg(a)) [/mm] = [mm] b^{\lg(a)} [/mm] bekomm ich dann:
[mm] x^{\lg(\bruch{2}{3})}+x^{\lg(\bruch{3}{2})}=\bruch{16}{3}
[/mm]
und mit [mm] \lg(\frac{a}{b}) [/mm] = [mm] -\lg(\frac{b}{a}):
[/mm]
[mm] x^{\lg(\bruch{2}{3})}+x^{-\lg(\bruch{2}{3})}=\bruch{16}{3}?
[/mm]
[mm] y:=x^{\lg(\bruch{2}{3})}
[/mm]
Jetzt weis ich nur nicht genau wie ich das [mm] x^{-\lg(\bruch{2}{3})} [/mm] weiter behandeln soll...
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> > 1) Es ist [mm]a^b = \exp(b \cdpt \lg(a))[/mm], womit [mm]a^{\lg(b)} = \exp(\lg(b) \lg(a)) = b^{\lg(a)}[/mm]
> ist.
>
> Wie komme ich darauf?
>
> Bin mir nicht sicher aber ist es so richtig?
>
> [mm]\left(\bruch{2}{3}\right)^{\lg(x)}+\left(\bruch{3}{2}\right)^{\lg(x)}=\bruch{16}{3}[/mm]
>
> mit [mm]a^{\lg(b)}[/mm] = [mm]\exp(\lg(b) \lg(a))[/mm] = [mm]b^{\lg(a)}[/mm] bekomm
> ich dann:
>
> [mm]x^{\lg(\bruch{2}{3})}+x^{\lg(\bruch{3}{2})}=\bruch{16}{3}[/mm]
>
> und mit [mm]\lg(\frac{a}{b})[/mm] = [mm]-\lg(\frac{b}{a}):[/mm]
>
> [mm]x^{\lg(\bruch{2}{3})}+x^{-\lg(\bruch{2}{3})}=\bruch{16}{3}?[/mm]
>
> [mm]y:=x^{\lg(\bruch{2}{3})}[/mm]
> Jetzt weis ich nur nicht genau wie ich das
> [mm]x^{-\lg(\bruch{2}{3})}[/mm] weiter behandeln soll...
Hallo!
Ich sage nur: [mm]x^{-\lg(\bruch{2}{3})} = \left(x^{\lg(\bruch{2}{3})}\right)^{-1}[/mm]
...
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 23.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hm Mist so hatte ichs eigentlich schon....
also
[mm] y+y^{-1}-\bruch{16}{3}=0
[/mm]
[mm] y^2-\bruch{16}{3}*y+1=0
[/mm]
und dann p/q-Formel:
[mm] \to y_{1/2}=\bruch{16}{6}\pm\sqrt{\bruch{156}{36}-\bruch{36}{36}}
[/mm]
[mm] y_{1/2}=\bruch{16}{6}\pm\bruch{\sqrt{120}}{36}
[/mm]
Jetztb fehlt mir durch rücksubstitution noch das x :(
grmmpf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mi 23.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Hm Mist so hatte ichs eigentlich schon....
>
> also
> [mm]y+y^{-1}-\bruch{16}{3}=0[/mm]
> [mm]y^2-\bruch{16}{3}*y+1=0[/mm]
> und dann p/q-Formel:
> [mm]\to y_{1/2}=\bruch{16}{6}\pm\sqrt{\bruch{156}{36}-\bruch{36}{36}}[/mm]
Bis hierhin passt die Formel.
Aber danach hast du einen Fehler drin:
[mm] y_{1/2}=\bruch{16}{6}\pm\sqrt{\bruch{156}{36}-\bruch{36}{36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{16}{6}\pm\bruch{\sqrt{120}}{\red{6}}
[/mm]
[mm] =\bruch{16\pm\sqrt{120}}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{16\pm2*\sqrt{30}}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{8\pm\sqrt{30}}{3}
[/mm]
Also [mm] y_{1}=\bruch{8+\sqrt{30}}{3}
[/mm]
und [mm] y_{2}=\bruch{8-\sqrt{30}}{3}
[/mm]
Jetzt hast du vorhin [mm] y=x^{\lg(\bruch{2}{3})} [/mm] substituiert, also löse jetzt mal die beiden Gleichungen
[mm] \bruch{8+\sqrt{30}}{3}=x^{\lg(\bruch{2}{3})}
[/mm]
und [mm] \bruch{8-\sqrt{30}}{3}=x^{\lg(\bruch{2}{3})}
[/mm]
Dabei sind die Tipps zum Umformen von [mm] x^{\lg(\bruch{2}{3})} [/mm] durchaus hilfreich.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Fr 25.07.2008 | | Autor: | tedd |
Es tut mir leid aber ich bin immer noch nicht dahinter gekommen wie ich jetzt vorgehen muss...
Habe die Seite zum Logarithmus auf mathematik.net durchgearbeitet und mir ist einiges klarer geworden aber ich versage hier trotzdem noch...
bspsweise habe ich ja:
[mm] \bruch{8+\sqrt{30}}{3}=x^{lg(\bruch{2}{3})}
[/mm]
Ich könnte ja jetzt den Zehnerlogarithmus von [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ausrechnen und dann entsprechend die Wurzel ziehen.
Wäre ja dann
[mm] \bruch{8+\sqrt{30}}{3}=x^{-0.176}
[/mm]
[mm] \wurzel[-0.176]{\bruch{8+\sqrt{30}}{3}}=x
[/mm]
aber das kriege ich ohne Taschenrechner ja niemals hin?
Oder ich logarithmiere jetzt nochmal um den exponent vom x runter zu holen?
[mm] lg\left(\bruch{8+\sqrt{30}}{3}\right)=lg\left(x^{lg(\bruch{2}{3}}\right)
[/mm]
[mm] lg(3+\sqrt{30})-lg(3)=lg(\bruch{2}{3})*lg(x)
[/mm]
aber das scheint mir irgendwie auch schwachsinnig zu sein weil ich von hier auch nicht wirklich weiter komme?
Sorry für die Nerverei aber mir fehlt da eindeutig was an wissen :(
Besten Gruß,
tedd
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Hallo,
> Es tut mir leid aber ich bin immer noch nicht dahinter
> gekommen wie ich jetzt vorgehen muss...
> Habe die Seite zum Logarithmus auf mathematik.net
> durchgearbeitet und mir ist einiges klarer geworden aber
> ich versage hier trotzdem noch...
>
>
> bspsweise habe ich ja:
>
> [mm]\bruch{8+\sqrt{30}}{3}=x^{lg(\bruch{2}{3})}[/mm]
>
> Ich könnte ja jetzt den Zehnerlogarithmus von [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> ausrechnen und dann entsprechend die Wurzel ziehen.
> Wäre ja dann
> [mm]\bruch{8+\sqrt{30}}{3}=x^{-0.176}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[-0.176]{\bruch{8+\sqrt{30}}{3}}=x[/mm]
>
> aber das kriege ich ohne Taschenrechner ja niemals hin?
>
> Oder ich logarithmiere jetzt nochmal um den exponent vom x
> runter zu holen?
>
> [mm]lg\left(\bruch{8+\sqrt{30}}{3}\right)=lg\left(x^{lg(\bruch{2}{3}}\right)[/mm]
>
> [mm]lg(3+\sqrt{30})-lg(3)=lg(\bruch{2}{3})*lg(x)[/mm]
>
> aber das scheint mir irgendwie auch schwachsinnig zu sein
> weil ich von hier auch nicht wirklich weiter komme?
>
>
> Sorry für die Nerverei aber mir fehlt da eindeutig was an
> wissen :(
> Besten Gruß,
> tedd
Ich vermute, ohne Taschenrechner (oder Logarithmentafel) wirst Du nicht weiter kommen. Es hat sich auch ein kleiner Rechenfehler eingeschlichen.
$x=10 hoch [mm] \left(\bruch{lg\left(8\pm\wurzel{55}\right)-lg(3)}{lg(2)-lg(3)}\right)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Fr 25.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hm okay, na wenn das so ist :)
Danke für die Antworten euch allen... Jetzt klappts bei der nächsten Aufgabe sicherlich schon etwas besser.
Gruß,
tedd
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