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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mo 03.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich muss die die Exponentialmatrix [mm] e^{At} [/mm] berechnen wobei [mm] A=\pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 2 }
[/mm]
[mm] e^{At}=S*e^D*S^{-1}
[/mm]
[mm] S=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1}
[/mm]
[mm] S^{-1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ 0.5 & 0.5 }
[/mm]
[mm] D=\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 6}
[/mm]
Wenn ich nun [mm] e^D [/mm] bilde dann bekomme ich so ein Matrix
[mm] \pmat{ 1-2t+\bruch{4t^2}{2!} -\bruch{8t^3}{3!}+.....+..& 0 \\ 0 & 1+6t+\bruch{36t^2}{2!} +\bruch{216t^3}{3!}+.....+.. }
[/mm]
Ich komme leider nicht drauf auf welche Reihendarstellung es hinausläuft oder habe ich davor schon einen Fehler gemacht?
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Hallo,
es ist [mm] e^x [/mm] = [mm] \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} [/mm] .
Das sollte helfen.
LG Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:04 Mo 03.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Das war mir klar das die Einträge mit [mm] e^t [/mm] und [mm] \bruch{1}{e^t} [/mm] zu tun haben aber wie bekomme ich das mit den richtigen Zahlen hin 6,36 etc...
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Hallo racy,
> Hallo
> Ich muss die die Exponentialmatrix [mm]e^{At}[/mm] berechnen wobei
> [mm]A=\pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 2 }[/mm]
Was heißt denn hier "muss" ?
>
> [mm]e^{At}=S*e^D*S^{-1}[/mm]
>
> [mm]S=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1}[/mm]
> [mm]S^{-1}=\pmat{ 0.5 & -0.5 \\ 0.5 & 0.5 }[/mm]
>
> [mm]D=\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 6}[/mm]
>
> Wenn ich nun [mm]e^D[/mm] bilde dann bekomme ich so ein Matrix
>
> [mm]\pmat{ 1-2t+\bruch{4t^2}{2!} -\bruch{8t^3}{3!}+.....+..& 0 \\ 0 & 1+6t+\bruch{36t^2}{2!} +\bruch{216t^3}{3!}+.....+.. }[/mm]
Nö, du berechnest hier [mm] \exp(tD)
[/mm]
Du weißt aber sicherlich, dass für eine 2x2-Matrix in Diagonalform gilt:
[mm] \exp\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }=\pmat{ e^a & 0 \\ 0 & e^b }
[/mm]
Damit sollte sich doch bereits geklärt haben, was sich in deinem Fall ergibt.
>
> Ich komme leider nicht drauf auf welche Reihendarstellung
> es hinausläuft oder habe ich davor schon einen Fehler
> gemacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mo 03.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Somit würde sich folgende Matrix ergeben:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{e^{t}} & 0 \\ 0 & e^{t} }
[/mm]
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Hallo
> Somit würde sich folgende Matrix ergeben:
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> [mm]\pmat{ \bruch{1}{e^{t}} & 0 \\ 0 & e^{t} }[/mm]
Wenn du meinst
[mm] \exp(At)=\pmat{ \bruch{1}{e^{t}} & 0 \\ 0 & e^{t} }
[/mm]
Dann: Nein, das stimmt nicht.
Wenn du meinst
[mm] \exp(Dt)=\pmat{ \bruch{1}{e^{t}} & 0 \\ 0 & e^{t} }
[/mm]
Dann auch hier: Nein, das stimmt nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 03.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Ich habe [mm] e^{Dt} [/mm] gemeint. Wieso stimmt es nicht? Das sind doch die Reihendarstellungen von [mm] 1/(e^t) [/mm] und [mm] e^t. [/mm] Ich verstehe es nicht mehr. Könnt ihr mir die Lösung schreiben,damit ich sie nachvollziehen kann.
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> Ich habe [mm]e^{Dt}[/mm] gemeint. Wieso stimmt es nicht? Das sind
> doch die Reihendarstellungen von [mm]1/(e^t)[/mm] und [mm]e^t.[/mm] Ich
> verstehe es nicht mehr. Könnt ihr mir die Lösung
> schreiben,damit ich sie nachvollziehen kann.
?! Das ist doch absoluter Quatsch.
Du bist der Meinung, dass
[mm] e^t=1+6t+\bruch{36t^2}{2!}+\bruch{216t^3}{3!}+...
[/mm]
ist?
Die Lösung haben wir doch quasi schon hingeschrieben:
$ [mm] \exp\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }=\pmat{ e^a & 0 \\ 0 & e^b } [/mm] $
Was ist denn bei der Matrix D, die Zahlen a und b? Dann hast du es doch schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 03.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Okay
also
[mm] \pmat{ e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{6t} }
[/mm]
Ich denke es stimmt mit t in der Matrix oder ?
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> Okay
>
> also
> [mm]\pmat{ e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{6t} }[/mm]
>
>
> Ich denke es stimmt mit t in der Matrix oder ?
Jop.
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