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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Exponentialmatrix
Exponentialmatrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Exponentialmatrix: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Mo 07.12.2015
Autor: AragornII

Aufgabe
Berechnen Sie zur Matrix
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} [/mm]
die Exponentialmatrix und lösen Sie mit Hilfe dieser Exponentialmatrix das Anfangsertproblem
[mm] \vec y'=A\vecy, \vec y(0)=(1,-1)^T [/mm]

neben dem ersten Vektorpfeil ist ein ' also $y'$.

Hi
Die Eigenwerte sind
[mm] $\lambda_1=-\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=\sqrt{5}$ [/mm]

Die Eigenvektoren:

[mm] EV_1: [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(1-\sqrt{5}) \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] EV_2: [/mm]

[mm] \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}) \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

nun:

[mm] \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(-\sqrt{5}) & \frac{1}{2}(\sqrt{5}) \\ 1 & 1 \end{pmatrix}* [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} -\sqrt{5} & 0\\ 0 & \sqrt{5} \end{pmatrix}* [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(-\sqrt{5}) & \frac{1}{2}(\sqrt{5}) \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} [/mm]

ist das bis hierhin richtig?

        
Bezug
Exponentialmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Mo 07.12.2015
Autor: fred97


> Berechnen Sie zur Matrix
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
>  die Exponentialmatrix und
> lösen Sie mit Hilfe dieser Exponentialmatrix das
> Anfangsertproblem
>   [mm] \vec y'=A\vecy, \vec y(0)=(1,-1)^T[/mm]
>  
> neben dem ersten Vektorpfeil ist ein ' also [mm]y'[/mm].
>  Hi
>  Die Eigenwerte sind
>  [mm]\lambda_1=-\sqrt{5}[/mm] und [mm]\lambda_2=\sqrt{5}[/mm]
>  
> Die Eigenvektoren:
>  
> [mm]EV_1:[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(1-\sqrt{5}) \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]EV_2:[/mm]
>  
> [mm]\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(1+\sqrt{5}) \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]


Soweit ist das O.K.


>  
> nun:
>  
> [mm]\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(-\sqrt{5}) & \frac{1}{2}(\sqrt{5}) \\ 1 & 1 \end{pmatrix}*[/mm]
>  
> [mm]\begin{pmatrix} -\sqrt{5} & 0\\ 0 & \sqrt{5} \end{pmatrix}*[/mm]
>  
> [mm]\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(-\sqrt{5}) & \frac{1}{2}(\sqrt{5}) \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}[/mm]
>  
> ist das bis hierhin richtig?

Keoine Ahnung, denn mir ist nicht klar, was Du da treibst.

laut Aufgabenstellung sollst Du [mm] e^{xA} [/mm] berechnen.

Dazu zeige:

   [mm] $A^{2n}=5^nE$ [/mm]

und

   [mm] $A^{2n+1}=5^nA$ [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Exponentialmatrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:07 Mo 07.12.2015
Autor: AragornII

hier ist ein Link:
http://www.millersville.edu/~bikenaga/linear-algebra/matrix-exponential/matrix-exponential.html
da ist in der Mitte ein Beispiel mit einer 2x2 Matrix
[mm] \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} [/mm]

ich habe mir dieses Beispiel angeschaut...
deswegen habe ich das oben so gemacht..

Bezug
                        
Bezug
Exponentialmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mi 09.12.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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