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Exponentialmatrix - Ungleichun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Do 10.06.2010
Autor: Storm

Aufgabe
Es existieren Konstanten w>0 und [mm] M\ge1, [/mm] sodass [mm] |e^{At}|\le Me^{-wt} [/mm] mit [mm] A\in\mathbb{R}^{n,n} [/mm] gilt.

Hallo,

kann mir einer einen Tipp geben, wie ich diese Ungleichung zeigen kann? Besuche derzeit ein Seminar und diese Ungleichung wird in meinem Artikel leider nur angegeben.

Vielen Dank
Stefan

        
Bezug
Exponentialmatrix - Ungleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Do 10.06.2010
Autor: fred97


> Es existieren Konstanten w>0 und [mm]M\ge1,[/mm] sodass [mm]|e^{At}|\le Me^{-wt}[/mm]
> mit [mm]A\in\mathbb{R}^{n,n}[/mm] gilt.
>  Hallo,
>  
> kann mir einer einen Tipp geben, wie ich diese Ungleichung
> zeigen kann? Besuche derzeit ein Seminar und diese
> Ungleichung wird in meinem Artikel leider nur angegeben.



Kann es sein, dass Du uns noch einige Voraussetzungen verschwiegen hast ?

Das

                [mm]|e^{At}|\le Me^{-wt}[/mm]

gilt im allgemeinen nicht. Denn diese Ungleichung zieht nach sich:

               [mm]e^{At} \to 0[/mm]  für t [mm] \to \infty [/mm]


Das ist für die Nullmatrix oder die Einheitsmatrix sicher nicht richtig

FRED

>  
> Vielen Dank
>  Stefan


Bezug
                
Bezug
Exponentialmatrix - Ungleichun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Do 10.06.2010
Autor: Storm

Leider steht in dem Artikel weiter nichts dazu, außer ein Verweis zu einer Übung, bloß hab ich den Teil nicht. Ich werd mal den Dozenten anschreiben und Fragen ob er mir die komplette Übungsaufgabe schicken kann.

Bezug
                        
Bezug
Exponentialmatrix - Ungleichun: genaue Aufgabenstellung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:18 Fr 11.06.2010
Autor: Storm

Hallo,

habe jetzt die Aufgabenstellung bekommen, welche wie folgt lautet:
Sei [mm] A\in\mathbb{R}^{n,n}, \sigma(A) [/mm] das Spektrum von A und w>s(A), wobei [mm] s(A):=max\{Re\lambda:\lambda\in\sigma(A)\}, [/mm] zeigen sie, dass es dann eine konstante M=M(w) gibt, mit [mm] |e^{At}|\le M*e^{wt} [/mm] für alle [mm] t\ge [/mm] 0.

Bezug
                                
Bezug
Exponentialmatrix - Ungleichun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 Fr 11.06.2010
Autor: Storm

Geht das vlt. auf dem Weg? *editiert*
[mm] |e^{At}|=|\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{n}t^{n}}{n!}|\le 1+|At|+\frac{1}{2}|A^{2}t^{2}|+...=1+|A|t+\frac{1}{2}|A^{2}|t^{2}+... [/mm]
[mm] |A|=\sup_{|x|=1}|Ax| [/mm]
[mm] |Ax|=|\lambda x|=|\lambda||x|=|\lambda| [/mm]
Jetzt müsste man ja nur noch den Eigenwert abschätzen mit w

Bezug
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