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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Piba |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Wert der Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{e^{nx}}{n!} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich bin neu hier und habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe. Ich habe mir gedacht folgendes zu tun: [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{e^{nx}}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}\*e^{nx} [/mm] = [mm] \underbrace{\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}}_{=e} [/mm] * [mm] \underbrace{\summe_{i=0}^{\infty} e^{nx}}_{geo. Reihe} [/mm] = e * [mm] \bruch{1}{1-e^x} [/mm] = [mm] \bruch{e}{1-e^x}. [/mm] Wolfram sagt ab das das Ergebnis [mm] e^{e^x} [/mm] ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Piba |
Danke für die schnelle Antwort. Das mit dem Index ist mir nicht aufgefallen danke für den Hinweis, natürlich war damit n = 0 gemeint ^^
Mit deinem Hinweis scheint die Lösung jetzt einfach zu sein, wenn ich mich hier nicht wieder vertue, aber mit:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{e^{n*x}}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\left( \ e^{x} \ \right)^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}$ [/mm] mit $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] wissen wir, dass ja [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}$ [/mm] gegen [mm] $e^z$ [/mm] konvergiert und wenn wir nun für [mm] $e^z, [/mm] z := [mm] e^x$ [/mm] einsetzen so bekomme ich [mm] $e^{e^x}$. [/mm] Und das hat mir Wolfram auch als Ergebnis gezeigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mo 07.12.2015 | | Autor: | Piba |
Vielen Dank. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 07.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Auf Deinen Fehler hat Dich Roadrunner schon hingewiesen. Ich hab noch was:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} e^{nx} =\summe_{n=0}^{\infty} (e^{x})^n$
[/mm]
konvergiert nur, wenn [mm] e^x<1, [/mm] also x<0 ist !
FRED
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Diese Gleichheit gilt nicht. Da trittst Du quasi das Distributivgesetz mit Füßen.
Potenzgesetze