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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Fr 08.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen für folgende Ungleichung an:
[mm] e^{cos(2x)}<3 [/mm] |
[mm] e^{cos(2x)}<3
[/mm]
Also zunächst wollte ich so vorgehen:
cos(2x)<ln(3)
2x<arccos(ln(3))
Aber das funktioniert nicht weil ln(3)>1 ist.
Da dachte ich zunächst, dass es keine Lösung gibt aber wenn man Beispielsweise x=0 einsetzt, stimmt die Ungleichung.
Jetzt komme ich bei dieser Ungleichung schon wieder nicht weiter:
cos(2x)<ln(3)
[mm] cos^2(x)-sin^2(x)
[mm] 1-sin^2(x)-sin^2(x)
[mm] -2*sin^2(x)
[mm] -sin^2(x)<\bruch{ln(3)-1}{2}
[/mm]
Das hilft mir aber glaub ich auch nicht weiter oder kann ich jetzt irgendwie arcsin auf beiden Seiten anwenden?
Irgendwie fehlt mir da noch was an wissen:
[mm] sin^2(arcsin(x))=x^2
[/mm]
aber ist
[mm] arcsin(sin^2(x))=x^2?
[/mm]
Danke schonmal im vorraus!
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Da ja für alle [mm] $z\in\IR$ [/mm] gilt [mm] $\cos(z) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ , ist damit auch stets [mm] $\cos(z) [/mm] \ [mm] \ln(3) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.099$ erfüllt.
Die Ungleichung ist also allgemeingültig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Fr 08.08.2008 | | Autor: | tedd |
Okay.....
Danke für die Antwort.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
tedd
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