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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Do 30.10.2014 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | [mm] $X_1, \ldots, X_n \overset{iid}{\sim} Exp(\lambda), \quad \lambda [/mm] > 0$
Zeigen Sie, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer [mm] $\hat{\lambda} [/mm] = [mm] \frac{1}{\overline{X}}$ [/mm] nicht erwartungstreu für [mm] $\lambda$ [/mm] ist. |
Die Exponentialverteilung macht mich gerade so ein wenig zu schaffen.
Ich habe bereits festgestellt, dass ich allein mit der Linearität des Erwartungswertes bei dieser Untersuchung nicht weiter kommen werde, denn [mm] $$E\bigg(\frac{1}{\overline{X}}\bigg) [/mm] = [mm] E\bigg(\frac{1}{\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n}{X_i}}\bigg) [/mm] = [mm] n\cdot E\bigg(\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}{X_i}}\bigg) =\quad [/mm] ?$$
Versuche die Definition des Erwartungswertes anzuwenden.
Im Falle einer stetigen Verteilung:
$$E(X) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{x\cdot f(x)dx}$$
[/mm]
Das heißt aber, ich bräuchte jetzt die Dichte von [mm] $\hat{\lambda} [/mm] = [mm] \frac{1}{\overline{X}}$ [/mm] aber wie komme ich darauf? Faltung und danach Transformation mit [mm] \frac{1}{x}?
[/mm]
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Hallo,
dürft ihr benutzen, dass die Summe von $n$ unabhängigen und exponentialverteilten Zufallsvariablen [mm] $X_{j}$ [/mm] mit Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] Erlangverteilt mit den Parametern $n$ und [mm] $\lambda$ [/mm] ist.
Damit kannst du dann den Erwartungswert von [mm] $\frac{1}{\sum\limits_{j=1}^{n}X_{j}}$ [/mm] leicht berechnen.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:24 Do 30.10.2014 | | Autor: | GeMir |
Dürfen wir nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 01.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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