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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Do 30.10.2014 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | | Seien $X, Y [mm] \overset{iid}{\sim} Exp(\lambda), \quad \lambda [/mm] > 0$. Sei $Z = X + Y$. Bestimmen Sie die Dichtefunktion von $Z$. |
$f(z) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)g(z-t)dt} [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda\cdot\exp(-\lambda t)\cdot\lambda\cdot\exp\big(-\lambda (z-t)\big)dt}\\
[/mm]
= [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda^2\cdot\exp(-\lambda t -\lambda z +\lambda t))dt} [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)dt} [/mm] = [mm] \lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1dt}$
[/mm]
So weit so gut. Ich weiß auch, dass ich eigentlich nur den Integral [mm] $\int_{0}^{\infty}$ [/mm] brauche,
aber trotzdem verstehe ich nicht, wie ich zum Ergebnis $f(z) = [mm] \lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)\cdot [/mm] z$ kommen soll.
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Hiho,
> So weit so gut. Ich weiß auch, dass ich eigentlich nur den Integral [mm]\int_{0}^{\infty}[/mm] brauche
Erstmal: DAS Integral.
Dann: So ganz stimmt das eben auch nicht.
Wie lautet die vollständige Dichtefunktion, wenn du sie sauber mit Indikatorfunktion aufschreibst.
Dann wird dir auch klar, wenn du das sauber durchziehst, wo dein z her kommt.
Dann steht da nämlich eben nicht mehr [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] 1 dt$ sondern sowas wie [mm] $\int_0^z [/mm] 1 dt$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Do 30.10.2014 | | Autor: | GeMir |
$f(z) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda\cdot\exp(-\lambda t)\cdot 1_{(0, \infty)}(t)\cdot\lambda\cdot\exp\big(-\lambda (z-t)\big)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t)}dt\\
[/mm]
= [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot 1_{(0, \infty)}(t)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t)}dt\\
[/mm]
= [mm] \lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1_{(0, \infty)}(t)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t)}dt\\
[/mm]
[mm] \overset{?}{=} \lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1_{(0, \infty)}(z)dt}\\
[/mm]
[mm] \overset{?}{=} \lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot\int_{0}^{z}{1dt}\\$
[/mm]
= [mm] \lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot [/mm] z$
Etwa so?
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Hiho,
> = [mm]\lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1_{(0, \infty)}(t)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t)}dt\\[/mm]
bis hierhin ok, danach wirds Blödsinn.
Mach dir mal klar und begründe, dass gilt: [mm] $1_{(0, \infty)}(t)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t) [/mm] = [mm] 1_{(0,z)}(t)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Do 30.10.2014 | | Autor: | GeMir |
[mm] $1_{(0, \infty)}(t)$ [/mm] nimmt genau dann DEN Wert 1 an, wenn $t [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm] ist, sonst nimmt DIE Funktion DEN Wert 0 an.
[mm] $1_{(0, \infty)}(z-t)$ [/mm] nimmt genau dann DEN Wert 1 an, wenn $(z-t) [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm] ist, sonst nimmt DIE Funktion DEN Wert 0 an.
DAS Produkt beider Funktionen wird wohl dann (und nur dann) gleich 1 sein, wenn sowohl $t [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm] als auch $(z - t) [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$. [/mm]
Also muss $t > 0$ sein und gleichzeitig $z > t$.
[mm] $1_{(0, z)}(t)$ [/mm] nimmt genau dann DEN Wert 1 an, wenn $t [mm] \in [/mm] (0, z)$ ist. Also $t > 0$ und $t < z$.
Also [mm] $\lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1_{(0, z)}(t)dt} [/mm] = [mm] \lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)\cdot\int_{0}^{z}{1dt}$
[/mm]
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Hiho,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono
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