Exponentialverteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Zufallsvariable heißt exponential-verteilt, wenn sie die Dichte
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \lambda*e^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t\ge{0} \end{cases}
[/mm]
(mit Parameter [mm] \lambda>0) [/mm] hat. Dies kann genutzt werden, um Lebendsdauern zu modellieren: X ist dann die Wartezeit bis zu einem Ausfall (ist mit Ausfall hier der Tod gemeint?)
-Rechnen Sie nach: Für alle zeiten [mm] t\ge{0} [/mm] und beliebige h>0 gilt:
[mm] P(X\ge{t+h}|X\ge{t})=P(X\ge{h})
[/mm]
- Warum nennt man die Exponentialverteilungen also "gedächtnislos"?
- Was bedeutet das für die Modellierung von Lebensdauern?
Hinweis: Mit [mm] P(A|B)=\bruch{P(A\cap{B})}{P(B)} [/mm] wird die bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet, d.h. die Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung, dass das Eintreten von B bereits bekannt ist. |
[mm] P(X\ge{t+h}|X\ge{t})=\bruch{P(X\ge{t+h}\cap X\ge{t})}{P(X\ge{t})}=\bruch{P(X\ge{t+h})}{P(X\ge{t})}=\bruch{\integral_{t+h}^{\infty}{f(t) dt}}{\integral_{t}^{\infty}{f(t) dt}}=\bruch{e^{-\lambda*(t+h)}}{e^{-\lambda*t}}=e^{-\lambda*h}
[/mm]
[mm] P(X\ge{h})=\integral_{h}^{\infty}{f(t) dt}=e^{-\lambda*h}
[/mm]
Die Gleichung:
[mm] P(X\ge{t+h}|X\ge{t})=P(X\ge{h})
[/mm]
scheint also zu stimmen. Was bedeutet das jetzt aber?
Warum ist die Exponentialverteilung gedächtnislos? und was bedeutet das für die Modellierung von Lebensdauern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 15.12.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin,
stell dir zwei Gluehbirnen vor. Die eine ist neu, die andere hat schon 1000 Stunden gebrannt. Die Wsken sind identisch, dass beide mindestens 200 Stunden brennen.
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