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Hallo!
Ich soll Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung ausrechnen.
Für den Erwartungswert gilt ja:
[mm] EX=\integral_{-\infty}^{\infty} {x*\lambda e^{-\lambda*x} dx}
[/mm]
Mit partieller Integration kann ich folgendermaßen auflösen:
[mm] \integral_{}^{} {x*\lambda e^{-\lambda*x} dx}=x*(-e^{-\lambda*x})-\integral_{}^{} {-e^{-\lambda*x}dx}
[/mm]
[mm] =-x*e^{-\lambda*x}-\bruch{1}{\lambda}*e^{-\lambda*x}
[/mm]
[mm] =(-x-\bruch{1}{\lambda})*e^{-\lambda*x}
[/mm]
Also habe ich ja
[mm] EX=[(-x-\bruch{1}{\lambda})*e^{-\lambda*x}] [/mm] und darein dann die Grenzen [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] eingesetzt.
Ich weiß, dass [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] rauskommen muss, weiß aber nicht, wie ich dann darauf komme.
Kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Do 07.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Beachte bitte, dass hier $0$ (und nicht etwa [mm] $-\infty$) [/mm] die untere Grenze darstellt. Dann kommst du auch unmittelbar auf das richtige Ergebnis. 
Viele Grüße
Stefan
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Und warum ist 0 die untere Grenze und nicht [mm] -\infty [/mm] ? In der Vorlesung haben wir die Formel mit [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] aufgeschrieben und in meinem Buch steht sie auch so.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Weil die Dichte der Exponentialfunktion so definiert ist:
$f(x) = [mm] \lambda e^{-\lambda x} \cdot 1_{[0,+\infty[}(x)$,
[/mm]
d.h. sie veschwindet für $x<0$. Daher wird die untere Intervallgrenze $0$.
Viele Grüße
Stefan
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Achso... alles klar!
Dann habe ich also
[mm] EX=[(-x-\bruch{1}{\lambda})\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}x}] [/mm] (da dann [mm] \infty [/mm] und 0 als Grenzen eingesetzt)
[mm] EX=\limes_{n\rightarrow\infty}((-n-\bruch{1}{\lambda})\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}n})-(-\bruch{1}{\lambda}*1)
[/mm]
[mm] EX=\limes_{n\rightarrow\infty}((-n-\bruch{1}{\lambda})\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}n})+\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
Folglich müsste ja dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}((-n-\bruch{1}{\lambda})\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}n}) [/mm] gegen 0 gehen.
Kannst du mir noch erklären, wie man darauf kommt? Grenzwerte sind nicht mein Fall! :-(
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Vielen Dank!
Habe ich verstanden!
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Potenzgesetze![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
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