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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 So 18.09.2005 | | Autor: | maddi1 |
In einer Leuchte befinden sich zwei parallelgeschaltete Glühlampen. Die (zufälligen) Lebendauern T1 und T2 dieser Lampen könne als unabhängig und exponetialverteilt angesehen werden; die mittlerer Lebensdauer betrage jeweils 500 Stunden.
Der Käufer der Leuchte bestückt diese mit zwei neuen Glülampen und entschliesst sich, die Glühlampen erst dann auszuwechseln, wenn bei ausgefallen sind.
(i) Wann ist das im Mittel der Fall?
(ii) Mit welcher wahrscheinlichkeit muss er vor 400 Stunden die Glühbirnen wechseln?
Zu (i) habe ich leider keinen gültigen Ansatz gefunden.
Zu (ii): P(X<400)² müsste das sein. wobei P(x<400)=1- [mm] e^{ -\lambda*400} [/mm] ist, wobei [mm] \lambda= \bruch{1}{E(x)}= \bruch{1}{500} [/mm] ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 So 18.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Die (ii) hast du im Prinzip richtig gelöst, denke ich. Aber nur unter der Annahme, dass $T_1$ und $T_2$ gleichverteilt sind (also mit dem gleichen Parameter $\lambda$). Das war aber nicht vorausgesetzt und das werde ich deshalb im Folgenden auch nicht voraussetzen.
Zur (i):
Hier ist doch $E[\max\{T_1,T_2\}]$ zu bestimmen. Und dies sollte doch wie folgt zu machen sein:
$E[\max\{T_1,T_2\}]$
$= \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^{\infty} \max\{t_1,t_2\} \left( \lambda_1 e^{-\lambda_1 t_1} \right) \cdot \left( \lambda_2 e^{-\lambda_2 t_2 \right)\, dt_1dt_2$
$= \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^{\infty} \max\{t_1,t_2\} \lambda_1\lambda_2 e^{-\lambda_1 t_1 - \lambda_2 t_2} \, dt_1dt_2$
$= \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^{t_2} t_2 \lambda_1\lambda_2 e^{-\lambda_1 t_1 - \lambda_2 t_2} \, dt_1dt_2 + \int\limits_0^{\infty} \int\limits_{t_2}^{\infty} t_1 \lambda_1\lambda_2 e^{-\lambda_1 t_1 - \lambda_2 t_2} \, dt_1dt_2$.
Schaffst du es das alleine zu Ende zu rechnen?
Wenn ihr doch $\lambda_1=\lambda_2$ annehmen dürft, musst du es entsprechend modifizieren. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 18.09.2005 | | Autor: | maddi1 |
Tut mir leid, ich kann es zwar einigermassen nachvollziehen, aber bei den Integralen lässt mich leider mein mathetisches Verständnis im Stich. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Das [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] ist kann man denke ich annehmen, da in der Aufgabe steht "die mittlere Lebensdauer betrage jeweils 500 Stunden" oder sehe ich das falsch?
Wäre supernett, wenn du mir bis zur Lösung helfen könntest.
Danke im voraus schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Tut mir leid, ich kann es zwar einigermassen
> nachvollziehen, aber bei den Integralen lässt mich leider
> mein mathetisches Verständnis im Stich.
Leider gibst du in deinem Profil deinen mathematischen Hintergrund nicht an, so dass ich keinerlei Anhaltspunkte habe.
> Das [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]\lambda_{2}[/mm] ist kann man denke ich
> annehmen, da in der Aufgabe steht "die mittlere Lebensdauer
> betrage jeweils 500 Stunden" oder sehe ich das falsch?
Du siehst das richtig. Ich hatte dies übersehen, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") .
> Wäre supernett, wenn du mir bis zur Lösung helfen
> könntest.
Also, helfen ja, komplett vorrechnen nein. Dafür ist mir die Aufgabe auch zu mühselig (ab jetzt ist es ja nur noch das Ausrechnen von Integralen, das ist Schulstoff und sollten auch andere im Forum lösen können, zumal ich das Ausrechnen von Integralen sehr lästig finde).
Wir haben jetzt:
[mm] $E[\max\{T_1,T_2\}] [/mm] = [mm] \int\limits_0^{\infty} \int\limits_0^{t_2} t_2\lambda^2 e^{-\lambda(t_1+t_2)}\, dt_1\, dt_2 [/mm] + [mm] \int\limits_0^{\infty} \int\limits_{t_2}^{\infty} t_1 \lambda^2 e^{-\lambda(t_1+t_2)}\, dt_1 \, dt_2$.
[/mm]
Beim ersten Integral erhälst du:
[mm] $\lambda \int\limits_0^{\infty} t_2 e^{-\lambda t_2} \cdot \left[-e^{-\lambda t_1} \right]_0^{t_2}\, dt_2 [/mm] = [mm] \lambda \int\limits_0^{\infty} t_2 e^{-\lambda t_2} \left(1-e^{-\lambda t_2} \right) \, dt_2$.
[/mm]
So, jetzt versuche dort mal weiterzumachen.
Beim zweiten Integral musst du im inneren Integral eine partielle Integration durchführen.
Versuche es wenigstens mal, es wird dann schon jemand kontrollieren und dir weiterhelfen.
Ich sage an dieser Stelle erst einmal "Viel Glück und bis zur nächsten Frage in einem neuen Thread!"
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:57 Di 20.09.2005 | | Autor: | maddi1 |
Danke schön. Hat mir weitergeholfen.
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