Exponentialverteilung Parameter Berechene < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 So 06.06.2004 | | Autor: | DrJobo |
HI allz!
Habe folgende Aufgabe:
Das Isotop 18F zerfällt mit einer Rate von [mm]0.37h^(-1)[/mm]. Bestimme die Halbwertszeit. (Tipp: bestimme zuerst Lambda)
Also mir ist bekann wie ich die Halbwertszeit berechne wenn ich Lambda berechnet habe, doch wie stelle ich das an ? bzw wo muss ich die Zerfallsrate einsetzen ?
[mm] f(x) = \lambda * e^(\lambda*x) [/mm]
Thx für jede Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DrJobo,
willkommen im MatheRaum  !
> Habe folgende Aufgabe:
> Das Isotop 18F zerfällt mit einer Rate von
> [mm]0.37h^(-1)[/mm]. Bestimme die Halbwertszeit. (Tipp: bestimme zuerst Lambda)
>
> Also mir ist bekann wie ich die Halbwertszeit berechne wenn ich Lambda berechnet habe, doch wie stelle ich das an ? bzw wo muss ich die Zerfallsrate einsetzen ?
>
> [mm]f(x) = \lambda * e^(\lambda*x) [/mm]
Mir ist nicht ganz klar, wo hier der Zusammenhang zur Stochastik und insbesondere zur Exponentialverteilung ist.
Es handelt sich hier doch einfach um einen exponentiellen Zerfall; pro Stunde zerfällt 37% des betreffenden Isotops.
Exponentieller Zerfall/exponentielles Wachstum wird beschrieben durch die Funktion
[mm] $N(t)=N_0*e^{\lambda*t}$
[/mm]
Um [mm] \lambda [/mm] zu berechnen, könntest du Zerfallsrate nutzen, um den Bestand nach einer Stunde zu berechnen:
Nach einer Stunde ist t=1.
[mm] $N(1)=0,37*N_0$ [/mm] (Nach einer Stunde haben wir 37% des Anfangsbestandes [mm] $N_0$)
[/mm]
Beides in das obige Zerfallsgesetzt eingesetzt:
[mm] $N(1)=N_0*e^{\lambda*1}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0.37*N_0=N_0*e^{\lambda*1}$ |$:N_0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0.37=e^{\lambda}$ [/mm] | logarithmieren
[mm] $\gdw\ \ln 0.37=\lambda$
[/mm]
Du hast zwar eine Formel für die Halbwertszeit, ich rechne sie aber mal per Hand aus:
Zur Bestimmung der Halbwertszeit ist der Zeitpunkt T gefragt, bei dem nur noch die Hälfte des Bestandes, also [mm] $\bruch{1}{2}*N_0$, [/mm] vorhanden ist.
Wieder eingesetzt [mm] ($\lambda=\ln [/mm] 0.37$, [mm] $N(T)=\bruch{1}{2}*N_0$)
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}*N_0=N_0*e^{T*\ln 0.37}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \bruch{1}{2}=e^{T*\ln 0.37}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \ln \bruch{1}{2}=T*\ln [/mm] 0.37$
[mm] $\gdw\ -\ln 2=T*\ln [/mm] 0.37$
[mm] $\gdw\ -\bruch{\ln 2}{\ln 0.37}=T$
[/mm]
[mm] $\gdw\ T\approx [/mm] 0.697$
Die Halbwertszeit beträgt also [mm] $T\approx 0.697h\approx [/mm] 41.8min$.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
