Exponentieller Zerfall < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Do 14.02.2013 | | Autor: | Bocaj |
| Aufgabe | Der Zerfall eines radioaktiven Präparats aus 10 mg Lanthan ({54}^La) wird während eines Messversuches beobachtet und jeweils die noch vorhandene Masse zu bestimmten Zeitpunkten gemessen. Es ergeben sich folgende Messwerte.
Zeit in Stunden: t Restmasse in mg: N(t)
0 10
5 9.1701
10 8.4090
15 7.7111
20 7.0711
25 6.4843
30 5.9461
60 3.5355
80 2.5000
100 1.7678
120 1.2500
a)Übertragen Sie die Messwerte in ein Koordinatensystem. Welchen funktionalen Zusammenhang
zwischen den Messpunkten vermuten Sie? Begründen Sie Ihren Ansatz und bestimmen Sie mit-
hilfe von CAS oder Tabellenkalkulation eine Ausgleichskurve.
b) Bestimmen Sie wie viel des Radioaktive Präparats {54}^La nach 250 Minuten noch vorhanden ist.
c) Diejenige Zeitspanne, innerhalb derer die Hälfte aller jeweils vorhandenen Atomkerne zerfallen ist, nennt man die Halbwertszeit T.
Bestimmen Sie die Halbwertszeit von {54}^La.
d)Die Funktionsgleichung der Ausgleichkurve ist vom Typ N(t) = [mm] a*b^{t}
[/mm]
Bestimmen Sie allgemein
N’(t). Was stellen Sie fest?
e)Bestimmen Sie N’(t) für die spezielle Ausgleichskurve aus a) (Stützstellen: Intervallmitten) und
vergleichen Sie N’(t) mit dem Quotienten [mm] \bruch{N(t+\delta t) - N(t)}{\delta t} [/mm] für die in der Tabelle angegebenen Werte.
Welche inhaltliche Bedeutung haben der Quotient und N’(t)?
f)Eine weitere wichtige Größe zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen ist der
momentane Wachstumssatz s(t)= [mm] \bruch{N´(t)}{\delta t} [/mm] . Bestimmen Sie s(t) für die Funktion a) und vergleichen
Sie s(t) mit [mm] \bruch{\bruch{N(t+\delta t) - N(t)}{\delta t}}{N(t)} [/mm] . Was fällt auf? Erklären Sie die Abweichungen. |
Also, ich schreibe momentan meine Facharbeit und würde gerne diese Aufgabe darin einbauen. Also ich bin nicht gerade die beste in Mathematik.
Bei der Aufgabe komme ich aber nicht super klar.
Meine Lösung:
a) ok
b) N(t)= [mm] a*e^{-k*t}
[/mm]
N(0)=10 <=> [mm] a*e^{-k*0}=10 [/mm] <=> a=10=> N(t)= [mm] 10*e^{-k*t}
[/mm]
Nach 5 Stunden sind nur noch 9,1701 mg vorhanden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
N(5)= 9.1701 <=> [mm] 10*e^{-k*5}= [/mm] 9,1701
<=> [mm] e^{-k*5}=\bruch{9,1701}{10} [/mm] = 0,91701
<=> -5 * k = ln(0.91701)
k= 0,01732738
Damit ergibt sich folgender Funktionsterm : N(t)= [mm] 10*e^{-0,01732738*t}
[/mm]
N(4 [mm] \bruch{1}{6})= 10*e^{-0,01732738*4 \bruch{1}{6}} \approx [/mm] 9.3035
Nach 250 Minuten d.h. nach 4 [mm] \bruch{1}{6} [/mm] Stunden sind noch 9.3035 mg Lanthan vorhanden.
c) N(t)= [mm] \bruch{10}{2} [/mm] = 5 <=> [mm] 10*e^{-0,01732738*t}= [/mm] 5
=> t= 40,0663
d) N(t)= [mm] a*b^{t}
[/mm]
N´(t)= t [mm] (a*b^{t-1})
[/mm]
Was soll man denn hier fest stellen? Etwa das der Zeitpunkt des zefalls sich verschiebt??
e) Hier weiss ich nicht wie das N´(t) der Ausgleichskurve aussieht? Und ich weiss auch nicht was ich weiterhin machen soll.
Ist meine Lösung bis hier hin richtig. Und welche tipps könnt ihr mir geben, um noch den rest der Aufgaben zu lösen.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Do 14.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
zub) hier solltest du wohl die Ausgleichskurve benutzen nicht nur einen Wert, sonst müsstest du den mit einem anderen Wert z,b bei 30 oder 60 überprüfen,
dasselbe gilt für die Halbwertszeit.
der Wert bei 80h sagt direkt dass 80h 2 HWZ sind also HWZ=40h
zu d) du hast die Exponentialfkt sehr falsch abgeleitet!
[mm] b^t=e^{t*lnb}
[/mm]
kannst du dann richtig ableiten, dann siehst du auch den Zusammenhang zw. N und N'
e)wie hast du a) gelöst? entsprechend kannst du die Intervallmittelpunkte und steigungen dazwischen als N' bestimmen, ausserden die Differenzenquotienten zw je 2 Messungen.
f) hier einfach das N' aus e verwenden, bzw den dort benutzten Differenzenquotienten.
Was ist das Thema deiner Facharbeit?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 14.02.2013 | | Autor: | Bocaj |
Also zunächst mal vielen Dank für deine Hilfe.
Ich komme mit dieser Aufgabe wirklich gar nicht klar. Das Thema meiner Facharbeit ist "Radioaktiver Zerfall und das Zerfallsgesetz".
Also bei a) habe ich das zunächst im Koordinatensystem eingetragen.
Ich weiss aber nicht genau was ich zum funktionalen Zusammenhang schreiben soll? Ich weiss aber gar nicht wie ich die Ausgleichkurve bestimmen kann?
Bitte könnt ihr mir helfen???
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Hallo,
> Also bei a) habe ich das zunächst im Koordinatensystem
> eingetragen.
> Ich weiss aber nicht genau was ich zum funktionalen
> Zusammenhang schreiben soll? Ich weiss aber gar nicht wie
> ich die Ausgleichkurve bestimmen kann?
> Bitte könnt ihr mir helfen???
Nun, der nächste Schritt wäre jetzt üblicherweise, eine exponentielle Regression vorzunehmen. Dazu tippst du die Daten in deinen GTR/CAS-Rechner ein und wählst den entsprechenden Befehl aus. Alternativ kann das auch jede vernünftige Tabellenkalkulation.
Dieser Typ von Regression liefert dir für die Exponentialfunktion
[mm] f(t)=a*b^t
[/mm]
bzw.
[mm] f(t)=a*e^{k*t}
[/mm]
die Parameter a und b bzw. k. Letztere Version ist nur für den Fall gedacht, dass ihr die e-Funktion schon durchgenommen habt. Dann solltest du sie auch verwednen. Sonst bitte Variante 1) verwenden.
Das musst du aber bei der Durchführung der Regression bedenken, weil es in der Regel zwei unterschiedliche Befehle gibt, einmal für beliebige Basis und einmal für die Basis e.
Und wenn du mir einen guten Rat erlaubst: wenn du mit dieser Aufgabe so wenig klar kommst, und ja doch eine Arbeit darüber verfassen sollst, dann werden wir das hier im Forum nicht umfassend klären können. Nimm also unbedingt sämtliche dir zur Verfügung stehende Lektüre zur Hand, arbeite sie durch und frage dann gezielt, wo du einzelne Dinge nicht verstehst. Das kann ein Forum wie unseres leisten und tut es auch gerne. Aber ganze Fachgebiete zu vermitteln: das geht nicht, beim besten Willen nicht, denn es würde ein Thread mit Hunderten von Beiträgen, bei dem am Ende keiner mehr durchsteigt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 24.02.2013 | | Autor: | Bocaj |
Hallo, zunächst mal vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe bis zu Aufgabe d) alles gelöst. Nur bei e bin ich ein wenig verwirrt.
Würde es nicht ausreichen, wenn ich die Funktionsgleichung der Ausgleichskurve einfach ableite und dann mit dem Quotieneten vergleiche? Oder wie muss ich da vorgehen???
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Hallo,
> Hallo, zunächst mal vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Ich habe bis zu Aufgabe d) alles gelöst. Nur bei e bin ich
> ein wenig verwirrt.
>
> Würde es nicht ausreichen, wenn ich die Funktionsgleichung
> der Ausgleichskurve einfach ableite und dann mit dem
> Quotieneten vergleiche?
Das ist ja genau die Aufgabenstellung. Das einzige, was ein wenig verwirrend ist, ist die Größe [mm] \delta{t}. [/mm] Da nichts anderes gesagt ist, sind das die jeweiligen Intervallbreiten, und von daher musst du etwas aufpassen bei den Vergleichen, da diese nicht konstant sind.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 24.02.2013 | | Autor: | Bocaj |
Hallo,
könnt ihr mir bitte bitte f) noch mal erklären, wie ich da genaustens machen mus. Ich habe momentan ein Brett vorm Kopf und komme gar nicht weiter :(
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Hallo Bocaj,
da muss ich mich zunächst entschuldigen, dass ich dir vorhin wohl einen falschen Tipp gegeben habe (die Aufgabe ist aber in Teilen auch sehr dürftig formuliert). Wenn ich jetzt die ganze Aufgabe im Zusamenhang sehe, dann würde ich doch sagen, dass generell [mm] \delta{t}=1h [/mm] gemeint ist.
Bei der Aufgabe f habe ich allerdings auch ein Verständnisproblem. Unter dem momentanen Wachstumssatz verstehe ich etwas anderes, als den angegebenen Term: den Faktor, um den ein Bestand innerhalb eines bestimmten Zeitintervvalls zu- bzw. abnimmt. Dieser ist bei exponentiellen Prozessen bekanntlich konstant. Prüfe also bitte nochmal, ob du alles korrekt abgetippt hast.
Ich gebe dir dennoch einen weiteren Tipp für den Fall, dass meine Interpretation der Aufgabe f) stimmt: forme deine Wachstumsfunktion vom Typ
[mm] f(t)=a*e^{-k*t}
[/mm]
um in die folgende Form:
[mm] f(t)=a*q^t
[/mm]
q ist dann eben der gesuchte Wachstumsfaktor.
Hilft dir das nun vollends weiter?
Gruß, Diophant
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