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Exponentielles Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Do 12.04.2007
Autor: MatheSckell

Aufgabe
1. Radioaktive Stoffe senden Strahlung aus und zerfallen dabei nach einem exponentielles Gesetz. Von Blei sind verschidene radioaktive Isotope bekannt.

a) Blei-212 hat eine Halbwertszeit von 11 h. Zu Beginn sind in einer radioaktiven Probe 4,0 mg Blei -212 enthalten. Wie viel Blei enthält die Probe nach 24 h?

b) Um wie viel Prozent nimmt das Blei-212 in 1 h ab?

c) Bei einer anderen Probe wurde festgestellt, dass der Anteil an Blei-209 pro Stunde um ca. 19% abnimmt. Welche Halbwertszeit besitzt Blei-209?

2. In einem Laborversuch soll die Experimentierkammer luftleer gepumt werden. Die dabei verwendete Pumpe verringert den Druck in der Kammer alle 30 Sekunden auf jeweis 60 % des vorherigen Wertes. Zu Beginn beträgt der Luftdruck in der Kammer 980 Hektopascal (hPa).

a) Gib eine Gleichung an, die den Luftdruck in der Kammen zur Zeit t in Minuten angibt

b) Wie groß ist der Druck in der Kammer nach 5 min?

c) Nach welcher Zeit beträgt der Druck noch 1 hPa?

d) Während des Pumpvorgangs gibt es genau einmal einZeitintervall von 30 s innerhalb dessen der Druck um 11 HPa abnimmt. Wann biginnt dieses Zeitnintervall?

Hallo liebes Forum,

bei diesen zwei Aufgaben habe ich bei der ersten mit a und b keine Probleme. Bei a habe ich bei a 0,9mg und bei b 6,1 % bei c weis ich irgendwie nicht wie das geht.  Genau das selbe Problem habe ich mit der zweiten Aufgabe.

Könnt Ihr mir bitte helfen

Viele Grüsse und vielen Dank
MatheSckell

        
Bezug
Exponentielles Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Do 12.04.2007
Autor: Mary15


> 1. Radioaktive Stoffe senden Strahlung aus und zerfallen
> dabei nach einem exponentielles Gesetz. Von Blei sind
> verschidene radioaktive Isotope bekannt.
>  
> a) Blei-212 hat eine Halbwertszeit von 11 h. Zu Beginn sind
> in einer radioaktiven Probe 4,0 mg Blei -212 enthalten. Wie
> viel Blei enthält die Probe nach 24 h?
>  
> b) Um wie viel Prozent nimmt das Blei-212 in 1 h ab?
>  
> c) Bei einer anderen Probe wurde festgestellt, dass der
> Anteil an Blei-209 pro Stunde um ca. 19% abnimmt. Welche
> Halbwertszeit besitzt Blei-209?
>  

Hallo,
du kennst bestimmt die allgemeine Form von der exponentielle Zerfallsfunktion: N = [mm] N_{0}*e^{-\lambda t} [/mm]
[mm] N_{0} [/mm] - die Menge zum Zeitpunkt t=0
N - die Menge zum Zeitpunkt t
[mm] \lambda [/mm] - Zerfallskonstante

in der Aufgabe c) steht, dass in 1 Stunde nimmt die Bleimenge um 19% ab. D.h. in eine Stunde (t=1) die verbleibende Menge beträgt 81% vom Anfangswert  [mm] N=0,81*N_{0} [/mm]

[mm] 0,81N_{0} [/mm] = [mm] N_{0}*e^{-\lambda*1} [/mm]

0,81 = [mm] e^{-\lambda} [/mm]
[mm] \lambda [/mm] = -ln0,81
[mm] \lambda [/mm] = 0,21

für Halbwertzeit gilt [mm] \bruch{1}{2}N_{0}=N_{0}*e^{-0,21t} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}=e^{-0,21t} [/mm]
-0,21t = ln0,5
t = 3,3 St.



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Exponentielles Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Do 12.04.2007
Autor: MatheSckell


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Exponentielles Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Do 12.04.2007
Autor: MatheSckell

Hallo und vielen Dank erstmal,

tut mir leid, aber das mit der Zerfallskonstante hatten wir noch nicht.
und könntest du mir Aufgabe 2 bitte noch erklären.

Viele Grüsse und vielen Dank
MatheSckell

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Exponentielles Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Do 12.04.2007
Autor: Mary15


> Hallo und vielen Dank erstmal,
>
> tut mir leid, aber das mit der Zerfallskonstante hatten wir
> noch nicht.

Kennst du den Begriff "Wachstumkonstante"? Zeige mal hier wie du die Aufgaben 1a und 1b gelöst hast, damit ich sehe wie du die Wachstum- Zerfallfunktion aufgestellt hast.


und könntest du mir Aufgabe 2 bitte noch erklären.

>
> Viele Grüsse und vielen Dank
> MatheSckell


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Exponentielles Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Do 12.04.2007
Autor: MatheSckell

Hallo,

also die Wachstumskonstante weis ich nur ist der Quotient aus dem Prozentsatz und der Schranke aber mehr auch nicht.


Lösung Aufgabe 1a:

a)
[mm] A(T_{H})= A(0)*a^{11}=0,5*A(0) [/mm]
==> [mm] a^{11}=0,5 [/mm] ==> [mm] a=0,5^{\bruch{1}{11}}=0,939 [/mm]
[mm] A(t)=4*0,939^{t} [/mm] mg (t in h) ==> A(24)=0,9 mg

b)
A(1)=4*0,939 mg=0,939A(9)=(1-0,061)*A(0)
prozenutale Abnahme pro Stunde: 6,1 %

Viele Grüsse
MatheSckell

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Exponentielles Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Do 12.04.2007
Autor: Mary15


> Hallo,
>  
> also die Wachstumskonstante weis ich nur ist der Quotient
> aus dem Prozentsatz und der Schranke aber mehr auch nicht.
>  
>
> Lösung Aufgabe 1a:
>  
> a)
>  [mm]A(T_{H})= A(0)*a^{11}=0,5*A(0)[/mm]
>  ==> [mm]a^{11}=0,5[/mm] ==>

> [mm]a=0,5^{\bruch{1}{11}}=0,939[/mm]
>  [mm]A(t)=4*0,939^{t}[/mm] mg (t in h) ==> A(24)=0,9 mg

>  
> b)
>  A(1)=4*0,939 mg=0,939A(9)=(1-0,061)*A(0)
>  prozenutale Abnahme pro Stunde: 6,1 %
>  
> Viele Grüsse
> MatheSckell

Ah, ja!
OK. Dann machst du das gleiche, nur mit einer Funktion
A(t) = [mm] A_{0}*a^t [/mm]
Für t = 1:
A(1) = [mm] 0,81A_{0} [/mm]
[mm] 0,81A_{0} [/mm] = [mm] A_{0}*a^1 [/mm]
a = 0,81
Halbzeitwert A(t) = [mm] 0,5*A_{0} [/mm]
[mm] 0,5A_{0} [/mm] = [mm] A_{0}*0,81^t [/mm]
[mm] 0,81^t [/mm] = 0,5
Die Lösung dieser Gleichung t=3,3 genau so wie ich bei meinen ersten Versuch hatte.
Die 2.Aufgabe kommt gleich.

Bezug
                                                
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Exponentielles Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Sa 14.04.2007
Autor: MatheSckell

Hallo und vielen Dank,

wenn ich mich blöd anstelle tuts mir leid, aber ich verstehe nicht, wie man von A(1)=0,81*A(0) auf das nächste und die folgenden Gleichungen kommt.

Könnte mir das bitte nochmal jemande erklären.

Viele Dank für die Geduld


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Exponentielles Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Sa 14.04.2007
Autor: Mary15


> wie man von A(1)=0,81*A(0) auf das nächste
> und die folgenden Gleichungen kommt.
>  

Hi,
schau mal in der Aufgabe steht, dass der Blei jede Stunde um 19% abnimmt. Also, wenn wir am Anfang an [mm] A_{0} [/mm] mg Blei haben, dann in einer Stunde bleib es noch 81% von [mm] A_{0} [/mm] mg, oder [mm] 0,81*A_{0} [/mm]
so kommst du auf die Gleichung [mm] 0.81A_{0} [/mm] = [mm] A_{0}a^1 [/mm]
dann beiden Seiten durch [mm] A_{0} [/mm] kürzen.

Bezug
        
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Exponentielles Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Do 12.04.2007
Autor: Mary15


>  
> 2. In einem Laborversuch soll die Experimentierkammer
> luftleer gepumt werden. Die dabei verwendete Pumpe
> verringert den Druck in der Kammer alle 30 Sekunden auf
> jeweis 60 % des vorherigen Wertes. Zu Beginn beträgt der
> Luftdruck in der Kammer 980 Hektopascal (hPa).
>  
> a) Gib eine Gleichung an, die den Luftdruck in der Kammen
> zur Zeit t in Minuten angibt
>  
> b) Wie groß ist der Druck in der Kammer nach 5 min?
>  
> c) Nach welcher Zeit beträgt der Druck noch 1 hPa?
>  
> d) Während des Pumpvorgangs gibt es genau einmal
> einZeitintervall von 30 s innerhalb dessen der Druck um 11
> HPa abnimmt. Wann biginnt dieses Zeitnintervall?
>  

Also zuerst die Funktion aufstellen : [mm] A_{0} [/mm] = 980
in t = 0,5 min (30 sekunden)  A(0,5) = 0,6 [mm] A_{0} [/mm]

[mm] 0,6A_{0} [/mm] = [mm] A_{0}*a^{0,5} [/mm]
[mm] a^{0,5} [/mm] = 0,6
a = 0,36

A(t) = [mm] A_{0}*0,36^t [/mm]

Schaffst du jetzt weiteren Aufgaben?

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