Extrapolationsfehler < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:56 Do 05.05.2011 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | | Man berechne $f'(3)$ für $f(x) = ln(x)$ durch Extrapolation der Auswertungen des zentralen Differenzenquotienten (mit 6 Nachkommastellen rechnen) mit [mm] $h_m [/mm] = [mm] 2^{-m}h_0$ [/mm] und [mm] $h_0 [/mm] = 0.8$ für $m = 0,1,2,3$. Bestimmen Sie den Fehler an diesen Stellen und den Extrapolationsfehler bei $h=0$. |
Ich habe bereits
$f(x)=ln(x)$
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{x}$
[/mm]
[mm] $f'(3)=\bruch{1}{3} \approx [/mm] 0.333333$
Mit $a(h) = [mm] \bruch{f(x+h)-f(x-h)}{2h} [/mm] = [mm] \bruch{f(3+h)-f(3-h)}{2h}$ [/mm] und
[mm] $h_0 [/mm] = 0.8$
[mm] $h_1 [/mm] = [mm] 2^{-1}*0.8 [/mm] = 0.4$
[mm] $h_2 [/mm] = [mm] 2^{-2}*0.8 [/mm] = 0.2$
[mm] $h_3 [/mm] = [mm] 2^{-3}*0.8 [/mm] = 0.1$
folgt
[mm] $a(h_0) [/mm] = a(0.8) = [mm] \bruch{ln(3.8)-ln(2.2)}{1.6} \approx [/mm] 0.341590$
[mm] $a(h_1) [/mm] = a(0.4) = [mm] \bruch{ln(3.4)-ln(2.6)}{0.8} \approx [/mm] 0.335330$
[mm] $a(h_2) [/mm] = a(0.2) = [mm] \bruch{ln(3.2)-ln(2.8)}{0.4} \approx [/mm] 0.333828$
[mm] $a(h_3) [/mm] = a(0.1) = [mm] \bruch{ln(3.9)-ln(2.9)}{0.2} \approx [/mm] 0.333457$
Wie berechne ich nun die einzelnen Fehler an diesen Stellen und den Extrapolationsfehler?
Ich habe doch kein Polynom, mit dem ich was anstellen kann?!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Do 05.05.2011 | | Autor: | Mija |
Kann mir denn wirklich niemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Fr 06.05.2011 | | Autor: | chrisno |
Ob es hilfreich ist, was ich beizutragen habe, bezweifle ich.
Es hängt so viel davon ab, ob ihr bestimmte Methoden vorgegeben habt.
Außerdem bin ich in diesem Gebiet nicht zu hause.
Den Fehler kannst Du bestimmten, wenn Du den richtigen Wert kennst. Den hast Du berechnet, also bilde für m = 1, .. 3 die Differenzen zu diesem Wert.
Mit dem Extrapolationsfehler begebe ich mich ganz aufs Eis.
Version 1 unter Einbeziehung des richtigen Werts: Untersuche die Entwicklung des Fehlers mit zunehmendem m. Passt da ein Funktion? (Zieh mal die Wurzel aus den Werten)
Was ergibt sich dann für m gegen unendlich?
Version 2 ohne Einbeziehung des richtigen Werts: Wie entwickeln sich die Differenzen der Ergebnisse mit zunehmendem m? Passt da eine Funktion?
Was ergibt sich dann für m gegen unendlich?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 07.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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