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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Extrem- und Wendepunkte
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Extrem- und Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Do 31.05.2012
Autor: v6bastian

Aufgabe
Wo besitzen die Funkionen Extrem- und Wendestellen?

[mm] y=(ln(\bruch{1}{5}x))^{5}-4 [/mm]

Hallo zusammen.

Meine Idee hierzu war erstmal die ersten drei Ableitungen zu bilden.
Danach die erste gegen Null zu setzen und nach x aufzulösen, anschließend das Ergebnis in die zweite Ableitung einzusetzen um zu schauen, ob die Funktion kleiner bzw. größer Null wird.

Die ersten drei Ableitungen hätte ich ja noch geschafft (so hoffe ich). Aber das Nullsetzen und Einsetzen macht mir Schwierigkeiten.

Hier mein bisheriger Weg

[mm] y'=\bruch{2ln(\bruch{x}{5})}{x} [/mm]

[mm] y''=\bruch{2-2ln(\bruch{x}{5})}{x^{2}} [/mm]

[mm] y'''=\bruch{4ln(\bruch{x}{5})-6}{x^{3}} [/mm]

Beim Nullsetzen komme ich nicht an das "x". Ich habe das x grundsätzlich auf beiden Seiten, weil es entweder in der e-Funktion oder im Logarithmus gebunden ist.

Habt Ihr einen Tipp für mich?

DANKE IM VORAUS,
Bastian

        
Bezug
Extrem- und Wendepunkte: Ableitungen falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Do 31.05.2012
Autor: Roadrunner

Hallo Bastian!


Deine Ableitungen stimmen leider nicht. Du musst hier die MBPotenzregel in Verbindung mit der MBKettenregel anwenden.


Ansonsten verstehe ich nicht, wie Du bei den Nullstellenberechnungen auf beiden Seiten der Gleichung x erhältst.
Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null wird.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Extrem- und Wendepunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 Do 31.05.2012
Autor: v6bastian

Hallo Roadrunner.

Danke für die Antwort. Die können auch nicht stimmen, weil ich mich bei der Potenz vertippt habe (das zweite mal heute *schäm*). Sorry dafür.

Die eigentliche Funktion lautet:

$ [mm] y=(ln(\bruch{1}{5}x))^{2}-4 [/mm] $

Danke für den Tipp mit dem Zähler. Das war mein Problem.

Werde nachher mal meine Lösung rein stellen mit der Bitte des Darüberschauens.

Bezug
                        
Bezug
Extrem- und Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Fr 01.06.2012
Autor: v6bastian

Hallo noch mal,

leider hat es gestern nicht mehr geklappt mit dem Reinstellen der Lösung, aber ich probiere es heute mal.

Gesucht: Extrem- und Wendestellen

Funktion: [mm] y=(ln(\bruch{1}{5}x))^{2}-4 [/mm]

Ableitungen:

[mm] y'=\bruch{2ln(\bruch{x}{5})}{x} [/mm]

[mm] y''=\bruch{2-2ln(\bruch{x}{5})}{x^{2}} [/mm]

[mm] y'''=\bruch{4ln(\bruch{x}{5})-6}{x^{3}} [/mm]

Extrema:

1.Ableitung Null gesetzt (Zähler, danke noch mal für den Tipp)

[mm] y'=0=2ln(\bruch{x}{5}) [/mm]

-> [mm] 0=ln(\bruch{x}{5}) [/mm]

-> [mm] e^{0}=1=\bruch{x}{5} [/mm]

-> x=5

Die 5 in die 2.Ableitung eingesetzt ergibt:

[mm] f''(5)=\bruch{2-2ln(\bruch{5}{5})}{5^{2}} [/mm]

[mm] f''(5)=\bruch{2-0}{25} [/mm]

[mm] f''(5)=\bruch{2}{25} [/mm]

Damit größer als Null und somit ein Minimum.

Die 5 in die Stammfunktion ergibt T (5|-4)

WENDESTELLEN

2.Ableitung = 0

[mm] 2-2ln(\bruch{x}{5})=0 [/mm]

[mm] 1-ln(\bruch{x}{5})=0 [/mm]

[mm] 1=ln(\bruch{x}{5}) [/mm]

[mm] e=\bruch{x}{5} [/mm]

5e=x

5e in die 3.Ableitung

[mm] f'''(5e)=\bruch{4ln(\bruch{5e}{5})-6}{5e^{3}} [/mm]

[mm] f'''(5e)=\bruch{4*1-6}{5e^{3}} [/mm]

f'''(5e)= [mm] -\bruch{2}{5e^{3}} [/mm]

Somit kleiner Null. Daraus folgt die Krümmung geht von links nach rechts.

5e in die Stammfunktion eingesetzt ergibt die Koordinate W(5e|-3)

BITTE NOCH UM EURE MEINUNG ZUR LÖSUNG.

Danke.

Bezug
                                
Bezug
Extrem- und Wendepunkte: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Fr 01.06.2012
Autor: Roadrunner

Hallo Bastian!


> Funktion: [mm]y=(ln(\bruch{1}{5}x))^{2}-4[/mm]
>  
> Ableitungen:
>  
> [mm]y'=\bruch{2ln(\bruch{x}{5})}{x}[/mm]

[ok]

  

> [mm]y''=\bruch{2-2ln(\bruch{x}{5})}{x^{2}}[/mm]

[ok]

  

> [mm]y'''=\bruch{4ln(\bruch{x}{5})-6}{x^{3}}[/mm]

[ok]

  

> Extrema:
>  
> 1.Ableitung Null gesetzt (Zähler, danke noch mal für den Tipp)
>  
> [mm]y'=0=2ln(\bruch{x}{5})[/mm]
>  
> -> [mm]0=ln(\bruch{x}{5})[/mm]
>  
> -> [mm]e^{0}=1=\bruch{x}{5}[/mm]
>  
> -> x=5

[ok]

  

> Die 5 in die 2.Ableitung eingesetzt ergibt:
>  
> [mm]f''(5)=\bruch{2-2ln(\bruch{5}{5})}{5^{2}}[/mm]
>  
> [mm]f''(5)=\bruch{2-0}{25}[/mm]
>  
> [mm]f''(5)=\bruch{2}{25}[/mm]

[ok]

  

> Damit größer als Null und somit ein Minimum.

[ok]

  

> Die 5 in die Stammfunktion ergibt T (5|-4)

Nana. Du setzt in die Ausgangsfunktion ein. Die Stammfunktion wäre etwas anderes ...

  

> WENDESTELLEN
>  
> 2.Ableitung = 0
>  
> [mm]2-2ln(\bruch{x}{5})=0[/mm]
>  
> [mm]1-ln(\bruch{x}{5})=0[/mm]
>  
> [mm]1=ln(\bruch{x}{5})[/mm]
>  
> [mm]e=\bruch{x}{5}[/mm]
>  
> 5e=x

[ok]

  

> 5e in die 3.Ableitung
>  
> [mm]f'''(5e)=\bruch{4ln(\bruch{5e}{5})-6}{5e^{3}}[/mm]

Aufpassen! Klammern vergessen: $f'''(5*e) \ = \ [mm] \bruch{4*\ln\left(\bruch{5*e}{5}\right)-6}{\red{(}5*e\red{)}^3^}$ [/mm]

  

> [mm]f'''(5e)=\bruch{4*1-6}{5e^{3}}[/mm]
>  
> f'''(5e)= [mm]-\bruch{2}{5e^{3}}[/mm]
>  
> Somit kleiner Null.

[ok] Prinzipiell richtig.


> Daraus folgt die Krümmung geht von links nach rechts.

[ok]
  

> 5e in die Stammfunktion eingesetzt ergibt die Koordinate
> W(5e|-3)

Siehe oben Bemerkung zu "Stammfunktion". Ansonsten [ok] .


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                        
Bezug
Extrem- und Wendepunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Fr 01.06.2012
Autor: v6bastian

Super, danke dafür.

Die Klammern waren zum Glück im Handgeschriebenen gesetzt ;)


Wird die Stammfunktion eigentlich nur beim Integrieren benutzt?

Bezug
                                                
Bezug
Extrem- und Wendepunkte: Anmerkungen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:40 Sa 02.06.2012
Autor: Roadrunner

Hallo Bastian!


> Die Klammern waren zum Glück im Handgeschriebenen gesetzt

Dann kommt aber im Nenner auch ein anderes Ergebnis mit [mm] $\red{125}*e^3$ [/mm] heraus.


> Wird die Stammfunktion eigentlich nur beim Integrieren benutzt?

Es ist die Definition von "Stammfunktion", dass bei deren Ableitung wieder die Ausgangsfunktion herauskommt. Von daher ist "Stammfunktion" wirklich mit Integration verbunden.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
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