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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Sa 31.05.2008 | | Autor: | qxxx |
| Aufgabe | [mm] \bruch{1}{6}(x+2)^2(2x-5)
[/mm]
Wie sind die Extrem- und Wendepunkte? |
Hallo Zusammen,
ich hab hier eine Aufgabe, sie wurde in der Schule gemacht aber ich hab sie vielleicht 10 mal durchgerechnet und der Lehrer scheint sie falsch gelöst zu haben, vielleicht hat er sich vertippt, oder ich bins wieder mal ;)
Wie auch immer, hier meine Aufgabe wie ich sie gelöst habe, könnt Ihr mir mal sagen ob sie so richtig ist? habe leider keine Lösung zur Korrektur:
Also, als Erstes:
Den Term zusammenfassen,
aus
[mm] \bruch{1}{6}(x+2)^2(2x-5)
[/mm]
wird
[mm] (x+2)^2(2x-5)
[/mm]
ich lasse den Bruch [mm] \bruch{1}{6} [/mm] vor der Klammer weg.
(darf man das überhaupt?)
und leite ab:
[mm] f(x)=(2x^3+3x^2-12x-20)
[/mm]
[mm] f'(x)=6x^2+6x-12)
[/mm]
f''(x)=12x+6
Extrempunkte lösen:
Dafür nehme ich die erste Ableitung und finde die 2 Punkte mit der Mitternachtsformel heraus:
[mm] 6x^2+6x-12
[/mm]
x1= [mm] \bruch{-6+\wurzel{36-4*6*-12}}{12} [/mm] = 1
x2= [mm] \bruch{-6-\wurzel{36-4*6*-12}}{12} [/mm] = -2
Diese 2 Werte setze ich in die erste Anfangsformel ein:
x1= [mm] 2*1^3+3*1^2-12*1-20 [/mm] = -4,5
x2= [mm] 2*(-2)^3+3*(-2)^2-12*(-2)-20 [/mm] = 0
Ergebnis:
Tiefpunkt: (1 | -4,5)
Hochpunkt: (-2 | 0)
So richtig bis jetzt?
Was hier Hoch was Tiefpunkt ist hab ich aus dem Taschenrechner rausgelesen (Graph) irgendwie sollte das auch aus den Zahlen zu erkennen sein.
Jetzt kommt die
Wendestelle: (Wendepunkte)
Dafür nehme ich jetzt die Zweite Ableitung und setzte Sie = 0:
12x+6=0
12x=-6
x=-6/12
x=-0,5
Das Ergebnis setze ich in die Anfangsformel ein:
[mm] 2*(-0,5)^3+3*(-0,5)^2-12*(-0,5)-20 [/mm] = -2,25
Ergebnis:
Wendepunkt: (-0,5 | -2,25)
Ist es richtig?? - Danke :)
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Also mal zu deiner Ausgangsfunktion
$ f(x) = [mm] \bruch{1}{6}*(x+2)^2(2x-5) [/mm] $
Das $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $ darfst du so einfach nicht rausfallen lassen. Das fällt zwar später weg, aber dazu später mehr.
Erst mal ausmultiplizieren:
$ f(x) = [mm] \bruch{1}{6}*(2x^3+3x^2-12x-20) [/mm] $
Dann ableiten:
$ f'(x) = [mm] \bruch{1}{6}*(6x^2+6x-12) [/mm] $
$ f''(x) = [mm] \bruch{1}{6}*(12x+6) [/mm] $
$ f'''(x) = [mm] \bruch{1}{6}*12 [/mm] $
So und jetzt kommt erst mal die Extremwertberechnung:
$ f'(x) = 0 $
Erst jetzt kannst du das $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $ rauskürzen!!!
$ 0 = [mm] 6x^2+6x-12 [/mm] $
Da kommt dann folgendes Raus
$ [mm] x_1 [/mm] = 1 $
$ [mm] x_2 [/mm] = -2 $
Art der Extremwerte
Um zu wissen, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, musst du die x-Werte deiner Extremwerte in die 2. Ableitung einsetzen. Das rechnet sich dann so:
$ f(1) = [mm] \bruch{1}{6}*(12*1+6) [/mm] = 3 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt $
$ f(-2) = [mm] \bruch{1}{6}*(12*(-2)+6) [/mm] = -3 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt $
TP (1/-4,5)
HP (-2/0)
Jetzt der Wendepunkt
$ f''(x) = 0 $
Auch hier kannst du erst jetzt das $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $ rauskürzen!!!
$ 0 = 12x+6 $
$ x = -0,5 $
Prüfung des Wendepunktes
$ f'''(-0,5) = [mm] \bruch{1}{6}*12 [/mm] = 2 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] $WP liegt vor!
WP (-0,5/-2,25)
Also bis auf ein paar zusätzliche Überprüfungen hast du alles richtig gemacht. Aber pass mit dem $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $ auf. Wenn du das am Anfang schon kürzt kann das evtl. zu Punktabzug bei der Klassenarbeit führen.
MfG Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 So 01.06.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo qxxx,
> [mm]\bruch{1}{6}(x+2)^2(2x-5)[/mm]
> Wie sind die Extrem- und Wendepunkte?
> Hallo Zusammen,
>
> ich hab hier eine Aufgabe, sie wurde in der Schule gemacht
> aber ich hab sie vielleicht 10 mal durchgerechnet und der
> Lehrer scheint sie falsch gelöst zu haben, vielleicht hat
> er sich vertippt, oder ich bins wieder mal ;)
>
> Wie auch immer, hier meine Aufgabe wie ich sie gelöst habe,
> könnt Ihr mir mal sagen ob sie so richtig ist? habe leider
> keine Lösung zur Korrektur:
>
> Also, als Erstes:
> Den Term zusammenfassen,
> aus
> [mm]\bruch{1}{6}(x+2)^2(2x-5)[/mm]
> wird
> [mm](x+2)^2(2x-5)[/mm]
>
> ich lasse den Bruch [mm]\bruch{1}{6}[/mm] vor der Klammer weg.
> (darf man das überhaupt?)
> und leite ab:
>
> [mm]f(x)=(2x^3+3x^2-12x-20)[/mm]
> [mm]f'(x)=6x^2+6x-12)[/mm]
> f''(x)=12x+6
>
> Extrempunkte lösen:
> Dafür nehme ich die erste Ableitung und finde die 2 Punkte
> mit der Mitternachtsformel heraus:
> [mm]6x^2+6x-12[/mm]
>
> x1= [mm]\bruch{-6+\wurzel{36-4*6*-12}}{12}[/mm] = 1
> x2= [mm]\bruch{-6-\wurzel{36-4*6*-12}}{12}[/mm] = -2
>
> Diese 2 Werte setze ich in die erste Anfangsformel ein:
> x1= [mm]2*1^3+3*1^2-12*1-20[/mm] = -4,5
Hier hast Du den Bruch $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $ ja heimlich wieder eingebaut. Du hast gerechnet:
[mm] \bruch{1}{6} (2*1^3+3*1^2-12*1-20) = -4,5 [/mm]
Du siehst also selber, welche Rolle er spielt.
Gruß
Sigrid
> x2= [mm]2*(-2)^3+3*(-2)^2-12*(-2)-20[/mm] = 0
> Ergebnis:
> Tiefpunkt: (1 | -4,5)
> Hochpunkt: (-2 | 0)
>
>
> So richtig bis jetzt?
> Was hier Hoch was Tiefpunkt ist hab ich aus dem
> Taschenrechner rausgelesen (Graph) irgendwie sollte das
> auch aus den Zahlen zu erkennen sein.
>
> Jetzt kommt die
> Wendestelle: (Wendepunkte)
> Dafür nehme ich jetzt die Zweite Ableitung und setzte Sie
> = 0:
> 12x+6=0
> 12x=-6
> x=-6/12
> x=-0,5
>
> Das Ergebnis setze ich in die Anfangsformel ein:
>
> [mm]2*(-0,5)^3+3*(-0,5)^2-12*(-0,5)-20[/mm] = -2,25
> Ergebnis:
> Wendepunkt: (-0,5 | -2,25)
>
> Ist es richtig?? - Danke :)
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