Extrema-minima unter nebenbedi < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
hi ,
ich sitze gerade an einer frage und komme nicht weiter. das problem: ich versuche ein nicht lineares gleichungssystem ( 5 gleichungen 5 unbekannte) zu lösen. dieses system resultiert wenn mann die Lagrange funktion bildet um ein extrema problem unter 2 nebenbedingungen zu lösen .
also : zu bestimmen sind die lokalen extrema von [mm] f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 [/mm] unter den nebenbedingungen [mm] g1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0 [/mm] , g2(x,y,z)=x+2* [mm] \wurzel{2*y} [/mm] +z-1=0 .
nun nach bildung von der Lagrange Funktion resultiert dieses system :
[mm] 2*x+\lambda*2*x+\mu=0
[/mm]
[mm] 2*y+\lambda*2*y+\mu/(2*y)=0
[/mm]
[mm] 2*z-\lambda*2*z+\mu=0
[/mm]
[mm] x^2+y^2-z^2=0
[/mm]
[mm] x+2*\wurzel{2*y}+z-1=0 [/mm]
und hier komme ich nicht weiter. ich habe viele ansätze versucht aber alle scheinen mir unpraktisch und komplitziert da man am ende z.B die wurzeln von einem polynom 5-ten grades! deswegen denke ich man kann die aufgabe einfacher lösen wenn man einbißchen geschickt die 5 gleichungen oben löst. bitte gibt mir einen denkstoß.
danke!
|
|
| |
|
Hallo Timo-Beil,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> also : zu bestimmen sind die lokalen extrema von
> [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/mm] unter den nebenbedingungen
> [mm]g1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0[/mm] , g2(x,y,z)=x+2* [mm]\wurzel{2*y}[/mm]
> +z-1=0 .
>
> nun nach bildung von der Lagrange Funktion resultiert
> dieses system :
>
> [mm]2*x+\lambda*2*x+\mu=0[/mm]
> [mm]2*y+\lambda*2*y+\mu/(2*y)=0[/mm]
> [mm]2*z-\lambda*2*z+\mu=0[/mm]
> [mm]x^2+y^2-z^2=0[/mm]
> [mm]x+2*\wurzel{2*y}+z-1=0[/mm]
Löse z.B. die erste und dritte Gleichung nach [mm]\lambda,\;\mu[/mm] auf,
und setze dann [mm]\lambda,\;\mu[/mm] in die zweite Gleichung ein.
Löse die letzte Gleichung nach [mm]\wurzel{2\;y}[/mm] auf, und setze das in die übriggebliebene Gleichung ein.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
hi mathepower!
danke für deine hilfe aber das hat mich leider nicht weiter gebracht . nach deinem vorschlag habe nun 2 gleichungen die jeweils 5 unbekannte enthalten und weiß nicht was ich an sie noch basteln kann .
also nach deinem vorschlag habe ich nun:
[mm] -y/x*\mu-z/y*[1-\lambda]=0
[/mm]
[mm] -y/x*[4+\mu/z]+2*[1+\lambda]=0
[/mm]
ich weiß nicht, ob ich dein ansatz richtig verstanden habe.
ich habe einen anderen ansatz benutzt und kamm auf eine gleichung die schwer zu lösen ist , nämlich:
[mm] 4*x-(5/\wurzel[4]{32})*x^{3/4}+512*x^{1/4}=-4 [/mm]
wenn du mit deinem ansatz zu einem ergebniss gekommen bist kannst du mir den zweiten schritt verraten?
danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Do 29.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Timo
ganz versteh ich deine Schwierigkeiten nicht. einfac die erst 3 Gleichungen so multipl. dass beim Subtr. jeweils eine Unbekannte verschwindet.
ich hab mal angefangen, aber flüchtig, also rechne bitte nach!
1) [mm]2*x+\lambda*2*x+\mu=0[/mm]
2) [mm]2*y+\lambda*2*y+\mu/(2*y)=0[/mm]
3) [mm]2*z-\lambda*2*z+\mu=0[/mm]
4) [mm]x^2+y^2-z^2=0[/mm]
5) [mm]x+2*\wurzel{2*y}+z-1=0[/mm]
1)-2) [mm] 2x-2z+\lambda*(2x+2z)=0 [/mm] ==>
[mm] \lambda=(x-z)/(x+z)
[/mm]
1)/2y-2) x/y-2y [mm] +\lambda*(x/y-2y)=0 ==>\lambda=-1
[/mm]
x-z=-x-z ==> x=0
aus 1 [mm] \mu=0
[/mm]
aus [mm] 4)y^{2}=z^{2}
[/mm]
aus 5)z ausrechnen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Timo-Beil,
ich habe also folgende Gleichungen zu lösen:
[mm]
\begin{gathered}
\left( 1 \right)\;2\;x\; + \;\lambda \;2\;x\; + \;\mu \; = \;0 \hfill \\
\left( 2 \right)\;2\;y\; + \;\lambda \;2\;y\; + \;\mu \;\frac{{\sqrt 2 }}
{{\sqrt y }} = \;0 \hfill \\
\left( 3 \right)\;2\;z\; - \;\lambda \;2\;z\; + \;\mu \; = \;0 \hfill \\
\left( 4 \right)\;x^2 \; + \;y^2 \; - \;z^2 \; = \;0 \hfill \\
\left( 5 \right)\;x\; + \;2\;\sqrt {2\;y} \; + \;z\; - \;1\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Aus Gleichung (1) und (3) folgen:
[mm]
\lambda \; = \;\frac{{z\; - \;x}}
{{z\; + \;x}},\;\mu \; = \; - \;\frac{{4\;x\;z}}
{{z\; + \;x}}
[/mm]
Dann folgt aus Gleichung (2):
[mm]x\; = \; \pm \;\frac{y}
{{\sqrt 2 }}\;\sqrt y [/mm]
Aus Gleichung (4) folgt:
[mm]
z\; = \; \pm \;\frac{y}
{{\sqrt 2 }}\;\sqrt {y\; + \;2} [/mm]
Wird dies in Gleichung (5) eingesetzt, so erhält man folgende Gleichung:
[mm]\begin{gathered}
\pm \;\frac{y}
{{\sqrt 2 }}\;\sqrt y \; + 2\;\sqrt 2 \;\sqrt y \; \pm \;\frac{y}
{{\sqrt 2 }}\;\sqrt {y\; + \;2} \; = \;1 \hfill \\
\Leftrightarrow \; \pm \;y\;\sqrt y \; + 4\;\sqrt y \; \pm \;y\;\sqrt {y\; + \;2} \; = \;\sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hieraus ergeben sich für das Vorzeichen "-", zwei Lösungen:
[mm]y_{0}\;=\;0.205167[/mm]
[mm]y_{1}\;=\;0.895345[/mm]
Und für das Vorzeichen "+" eine Lösung:
[mm]y_{2}\;=\;0.0967306[/mm]
Diese Lösungen stellen, nach meiner Rechnung, Minimas dar.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo,
Da in unserer Vorlesung das Thema nur kurz behandelt wurde....
wie ist das eigentlich: Wenn man bei so einer Aufgabe eine Lösung für das Gleichungssystem findet, hat man doch noch nicht gezeigt, dass an der Stelle auch wirklich ein Extremum ist, oder ? Der Lagrange ist doch nur eine Folge von lok.Extremum ? (notwendige Bedingung und nicht hinreichend)
Und wenn, wie hier auch, die durch die Nebenbedingung bestimmte Menge nicht kompakt ist, ist noch nicht mal klar, dass es globale Extrema geben muss!
Wie zeigt man jetzt, dass auch wirklich ein Extremum vorliegt und wenn ja, ob es ein Max. oder Min. ist?
danke,mfG
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 02.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> wie ist das eigentlich: Wenn man bei so einer Aufgabe eine
> Lösung für das Gleichungssystem findet, hat man doch noch
> nicht gezeigt, dass an der Stelle auch wirklich ein
> Extremum ist, oder ?
Genau.
> Der Lagrange ist doch nur eine Folge
> von lok.Extremum ? (notwendige Bedingung und nicht
> hinreichend)
Richtig.
> Und wenn, wie hier auch, die durch die Nebenbedingung
> bestimmte Menge nicht kompakt ist, ist noch nicht mal klar,
> dass es globale Extrema geben muss!
A priori nicht - völlig richtig!
> Wie zeigt man jetzt, dass auch wirklich ein Extremum
> vorliegt und wenn ja, ob es ein Max. oder Min. ist?
Da gibt es kein total allgemeines Vorgehen - aber hier kann man sich folgendes überlegen: Die Menge, für die die Nebenbedingung gegeben ist, ist abgeschlossen, dh wenn ich sie mit kompakten Bällen um 0 - zB den Einheitswürfeln - schneide, gibt es lokale Extrema. Allerdings ist es dann keine Unter-Mgf. mehr, und sie könnten auf dem so liegen, das es keine lokalen Karten mehr gibt, also der Beweis nicht anwendbar ist. Das führt also nicht umbedingt zum Erfolg. Aber hier muss man sich die Funktion genau anschauen: die Funktion geht gegen Unendlich, falls [m]||(x,y,z)||\to \infty[/m]. Das heisst, das Minimum (und eben nicht das Maximum, das nicht global existiert!), wird irgendwo im "Inneren" (also man kann sehen, dass hierfür die notwendige Bedingung gelten muss) angenommen und existirt.
Andere Methode: wenn man zwei Nebenbedingugnen hat, kann es ja sein, das der Schnitt dieser beiden Untermgf. beschränkt ist (habe ich hier nicht nachgeprüft), dann gibt es wg. Kompaktheit eine Lösung. (man muss dann noch schauen, ob man Lagrange auf den Schbnitt anwenden darf.)
Vielleicht hat jemand noch eine andere Erklärung - deswegen lasse ich es auf "teilweise unbeantwortet"
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo danielinteractive,
> Wie zeigt man jetzt, dass auch wirklich ein Extremum
> vorliegt und wenn ja, ob es ein Max. oder Min. ist?
die ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix muss im jeweiligen Punkt definit sein. Es müssen alle Eigenwerte ungleich 0 sein.
Haben die Eigenwerte auch noch gleiches Vorzeichen, so liegt für positives Vorzeichen ein Minimum und für negatives Vorzeichen ein Maximum vor.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo SEcki und MathePower,
danke für die Antworten! Wie ist das, von welcher Abbildung rechne ich dafür die Hesse-Matrix aus, von [mm]f[/mm] oder von [mm]f-\lambda*g[/mm] ? (es ist ja ein kritischer Punkt von der zweiten Abb. oder ?)
mfG
Daniel
|
|
|
| |
|
Hallo danielinteractive,
> danke für die Antworten! Wie ist das, von welcher Abbildung
> rechne ich dafür die Hesse-Matrix aus, von [mm]f[/mm] oder von
> [mm]f-\lambda*g[/mm] ? (es ist ja ein kritischer Punkt von der
> zweiten Abb. oder ?)
von der letzteren Abbildung [mm]f-\lambda*g[/mm].
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo MathePower,
Hier ist ein Gegenbeispiel.
mfg
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 So 02.10.2005 | | Autor: | Timo-Beil |
moin ,
danke euch für eure mühe! ich muß mich erstmal entschuldigen für den fehler in der ableitung von [mm] 2*\wurzel{2*y}. [/mm] trotzdem bin ich nicht zu einer antwort gekommen. also ich werde die endlösung aus dem lösungsblatt zitieren :
es gibt 2 stationäre punkte der Lagrange-funktion, nämlich [mm] x_{1}=(1/6)*(1,2* \wurzel{2},3) [/mm] und [mm] x_{2}=(1/12)*(1,2* \wurzel{2},3) [/mm] . die zugehörigen Lagrange-parameter sind [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=1/2 [/mm] (für g1) und [mm] \mu_{1}=-1 [/mm] ,
[mm] \mu_{2}=-1/4 [/mm] (für g2).
deswegen dachte ich man kann das gleichungssystem mit ein bißchen "weitblick" lösen ohne matlab oder ähnliches zu benutzen . ich bin auf ähnliche formel wie bei mathepower gekommen aber nicht weiter.
ein detail aus der zitierten endlösung lässt mich nachdenken, nämlich (für g1) ...... ( für g2) . kann es sein daß man für die lösung des systems erstmal die erste bedingung in betracht zieht und darraus [mm] \lambda [/mm]
rechnet und dann die zweite bedingung um [mm] \mu [/mm] zu rechnen und dann die beiden werte benutzen um (x,y,z) aus dem system zu bestimmen? jedenfalls könnte ich das aus dem textbuch nicht entschliessen.
also lange rede kurtzer sinn : entweder man kann die lösung mit einbißchen "weitblick" aus den 5 gleichungen ermitteln oder die bedingungen einzeln betrachten.
ich möchte euch mit dieser frage nicht belästigen, denn ich habe sie erstmal aufgegeben vielleicht komme ich noch mal auf sie später. aber ich bin trotzdem für jeden Tipp dankbar.
schönen sonntag noch.
|
|
|
| |
|
Hallo Timo-Beil,
> also : zu bestimmen sind die lokalen extrema von
> [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/mm] unter den nebenbedingungen
> [mm]g1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0[/mm] , g2(x,y,z)=x+2* [mm]\wurzel{2*y}[/mm]
> +z-1=0 .
>
> nun nach bildung von der Lagrange Funktion resultiert
> dieses system :
>
> [mm]2*x+\lambda*2*x+\mu=0[/mm]
> [mm]2*y+\lambda*2*y+\mu/(2*y)=0[/mm]
> [mm]2*z-\lambda*2*z+\mu=0[/mm]
> [mm]x^2+y^2-z^2=0[/mm]
> [mm]x+2*\wurzel{2*y}+z-1=0[/mm]
Die 5. Gleichung ist [mm]g2(x,\;y,\;z)\;=\;x\;+\;2\;\wurzel{2\;y}\;+\;z\;-\;1\;=\;0[/mm].
Demzufolge kann
[mm]
\frac{{\delta g_2 (x,\;y,\;z)}}
{{\delta y}}\; = \;\frac{{\sqrt 2 }}
{{\sqrt y }}\; \ne \;\frac{1}
{{2\;y}}[/mm]
nicht sein.
Oder die 2. Nebenbedingung lautet anders.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
