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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Sa 25.06.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Internetforum gestellt.
Hallo alle zusammen!
Ich bin mal wider auf ein Problem gestossen, bei dem ich Rat erbitten würde.
Ich habe folgende Funktion gegeben:
[mm]f: \{(x,y) \in \IR^{2}: 0 \le x \le2 \pi , 0 \le y \le2 \pi-x \} \to \IR :
f(x,y) := sinx + siny - sin(x+y) [/mm]
Von ihr soll ich nun den größten und den kleinsten Funktionswert bestimmen und in welchen Punkten de Funktion diese annimmt.
Zunächst habe ich erstmal den Rand betrachtet, bei x=0, y=0 und bei [mm] x+y=2\pi [/mm] und festgestellt, das hier immer Null raus kommt.
Dann wollte ich die lokalen Extrema im Inneren berechnen, und bekam folgenden Gradienten:
[mm] \vektor{cosx - cos(x+y) \\ cosy - cos(x+y)}
[/mm]
Nun muss ja der Gradient in den Extrema der Funktion f gleich Null sein, aber ich konnte keine Einsetzung für (x,y) finden, wo dies der Fall wäre und die nicht auch auf dem Rand liegen.
Da die Menge kompakt ist, muss der grösste und kleinste Wert existieren, aber wo bzw wie finde ich den nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
> [mm]\vektor{cosx - cos(x+y) \\ cosy - cos(x+y)}[/mm]
>
> Nun muss ja der Gradient in den Extrema der Funktion f
> gleich Null sein, aber ich konnte keine Einsetzung für
> (x,y) finden, wo dies der Fall wäre und die nicht auch auf
> dem Rand liegen.
[mm] \cos x - \cos (x+y) = 0 [/mm]
[mm] \cos y - \cos (x+y) = 0 [/mm]
daraus folgt
[mm] \cos x = \cos (x+y) [/mm]
[mm] \cos y = \cos (x+y) [/mm]
also
[mm] \cos y = \cos (x+y) = \cos x [/mm]
somit
[mm] \cos y = \cos x [/mm]
das gilt nur dann, wenn x = y oder x = [mm] 2\pi [/mm] -y (im geg. Intervall)
.) x = y
[mm] \cos x = \cos (x+y) = cos 2x [/mm]
das ist nur bei x = y = 0 der Fall (bzw. [mm] k*2*\pi [/mm] nicht im Intervall)
danke an Angela (angela.h.b.)
Korrektur:
gilt auch fuer x = y = [mm] \frac{2}{3}*\pi
[/mm]
(hab uebersehen, dass die Werte noch im Intervall drinnnen liegen)
.) x = [mm] 2\pi [/mm] -y
[mm] \cos x = \cos (x + y) = cos (2\pi) = 1 [/mm]
das ist auch nur bei x = 0 der Fall (bzw. [mm] k*2*\pi [/mm] nicht im Intervall)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
x=0; y=0;
Also wenn Extremwert, dann nur am Rand.
also bekommst du den groessten und den kleinsten Wert, indem du die Randwerte einsetzt
Korrektur:
und natuerlich auch den Funktionswert fuer x = y = [mm] \frac{2}{3}*\pi
[/mm]
und dann davon das Minimum bzw. Maximum ermittelst.
lG
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Sa 25.06.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Die Randwerte hatte ich auch oben schon betrachtet und kam dabei immer auf den Funktionswert Null.
Was ich völlig übersehen hatte war, daß der Punkt [mm] x=y=2\pi [/mm] auch noch ein Extremwert ist...
Somit habe ich nun doch zwei Extremwerte, von denen einer in ziemlich vielen Punkten vorkommt!
Danke, jetzt kann ich es komplett lösen! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
> Die Randwerte hatte ich auch oben schon betrachtet und kam
> dabei immer auf den Funktionswert Null.
> Was ich völlig übersehen hatte war, daß der Punkt [mm]x=y=2\pi[/mm]
> auch noch ein Extremwert ist...
Nicht ganz, um genau zu sein.
Du meinst eher [mm] x=2\pi; [/mm] und y=0; (wegen Intervall, aendert aber nichts an dem Funktionswert)
lG
Peter
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> Dann wollte ich die lokalen Extrema im Inneren berechnen,
> und bekam folgenden Gradienten:
>
> [mm]\vektor{cosx - cos(x+y) \\ cosy - cos(x+y)}[/mm]
>
> Nun muss ja der Gradient in den Extrema der Funktion f
> gleich Null sein, aber ich konnte keine Einsetzung für
> (x,y) finden, wo dies der Fall wäre und die nicht auch auf
> dem Rand liegen.
Hallo TobiasBe,
doch, es gibt so einen Punkt: (x,y)=( [mm] \bruch{2}{3} \pi, \bruch{2}{3} \pi)!
[/mm]
Du findest ihn so unter Beachtung der Randbedingungen:
cosx=cos(x+y) und cosy=cos(x+y)==>
==> (x=x+y oder [mm] x+y=2\pi-x) [/mm] und (y=x+y oder [mm] x+y=2\pi-y)
[/mm]
==>... ==> Randpunkt oder [mm] x=y=\bruch{2}{3} \pi
[/mm]
Damit wirst Du weiterkommen, vermute ich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Sa 25.06.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Vielen Dank!
Das war genau das, was mir solche Kopfzerbrechen bereitet hat!
Ich konnte keinen Fehler in meiner vorangehenden Rechnung finden, aber das ich übersehen habe, das es eine weitere mögliche Einsetzung für den Gradienten gibt, daran habe ich nicht gedacht.
Vielen Dank für die Hilfe. :)
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