Extrema + Nebenbed. (Lagrange) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Fr 25.06.2010 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Bestimme das Maximum der Funktion
[mm] $f(x_1,x_2,...,x_n)=\produkt_{i=1}^{n} (x_i)^2$
[/mm]
unter der Nebenbedingung
[mm] $\summe_{i=1}^{n} (x_i)^2=1.$ [/mm] |
Guten Abend,
bei dieser Aufgabe habe ich nur den Tipp "Lagrange" bekommen, weiß aber nicht, wie ich das Lagrangeverfahren darauf anwenden kann.
Kann mir jemand helfen? Bin für alle Hinweise dankbar!
Vielen Dank im Voraus!
(Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Fr 25.06.2010 | | Autor: | max3000 |
Hey.
Also die Lagrangefunktion ist ja in deinem Fall Definiert durch:
[mm] $L(x,\lambda)=\produkt_{i=1}^{n}(x_i^2)+\lambda*(1-\summe_{i=0}^n x_i^2)$
[/mm]
Die musst du jetzt nach [mm] x_i [/mm] ableiten und 0 setzen und dann hast du n Gleichungen aus denen du die [mm] x_i [/mm] rausbekommen solltest.
Es gilt:
[mm] $\bruch{\partial L(x,\lambda)}{\partial x_j}=2x_j\produkt_{i=1,i\ne j}^{n}(x_i^2)+\lambda*(-2x_j)=0$
[/mm]
Vielleicht hilft dir das ja schon weiter.
Außerdem hast du noch eine Gleichung durch die Nebenbedingung. Die gilt ja allgemein.
[mm] \lambda [/mm] sind übrigens der Lagrange-Multiplikator. Du hast hier genau einen weil du eine Nebenbedingung hast.
Du kannst zum Beispiel mal anfangen aus der Ableitung der Lagrangefunktion das [mm] 2x_i [/mm] rauszuziehen. Da nicht alle [mm] x_i=0 [/mm] sein können, kannst du zum Beispiel das einfach weglassen.
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