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Forum "Schul-Analysis" - Extrema -> Nebenfunktion
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Extrema -> Nebenfunktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Di 08.03.2005
Autor: miniscout

Hallo ihr! [winken]

Ich habe ein kleines Problem: [keineahnung]Übermorgen schreib ich ne Klausur und ich kapier mal wieder nix - naja, ganz so schlimm ist es auch mal wieder nicht, trotzdem brauch ich eure Hilfe:

Die Aufgabe lautet:
Bestimme den einer Kugel mit gegebenem Radius [mm] $\R$ [/mm] einbeschriebenen Zylinder, der den größten Rauminhalt hat.

Die Hauptfunktion hab ich:  [mm] $V_{Zylinder}=pi*r²*h$ [/mm]

Nun fehlt mir noch eine Nebenfunktion. Kann mir da jemand von euch helfen? Vielleicht auch nur einen Ansatz?!?!

Ich habe diese Frage auf keinen anderen Internetseiten in anderen Foren gestellt.
Ich danke euch! [flowers]

Grüße miniscout [sunny]


        
Bezug
Extrema -> Nebenfunktion: Querverweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Di 08.03.2005
Autor: Loddar

Hallo miniscout,


sieh' doch mal hier nach.
Da wurde eine sehr ähnliche Frage bereits beantwortet.

Wenn Du dann noch weitere Fragen hast, melde Dich ...


Gruß
Loddar

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Bezug
Extrema -> Nebenfunktion: Fehler in Rechnung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Di 08.03.2005
Autor: miniscout

Hallo Loddar!

Danke, das hat mir sehr geholfen. [flowers]
Hab meine Aufgabe mal durchgerechnet, kannst du mal drüberschaun? Danke!

HF: [mm] $V_{Z}(h,r)=\pi*r²*h$ [/mm]
NF: [mm] $R²=\bruch{h²}{4}+r²$ $\to$ $r²=R²-\bruch{h²}{4}$ [/mm]

:-) [mm] $V_{Z}(h)=\pi*h*R²-\bruch{pi*h³}{4}$ [/mm]
:-) $V [mm] '_{Z}(h)=\pi*R²-\bruch{3*pi*h²}{4}$ [/mm]

für Extrema gilt ja: $V '_{Z}(h)=0$

:-) [mm] $0=\pi*R²-\bruch{3*pi*h²}{4}$ [/mm]
:-) [mm] $h=\bruch{8}{3}R$ [/mm]

;-) [mm] $r=\wurzel{R²-\bruch{h²}{4}}$ [/mm]
[kopfkratz] [mm] $r=\wurzel{R²-\bruch{(\bruch{8}{3}R)^{2}}{4}}$ [/mm]

das ergibt dann aber:[kopfkratz] [mm] $r=\wurzel{R²-\bruch{64R²}{36}}$ [/mm]
[kopfkratz] [mm] $r=\wurzel{R²-\bruch{16R²}{9}}$ [/mm]
[kopfkratz] [mm] $r=\wurzel{-\bruch{7R²}{9}}$ [/mm]

Ähh! Das geht doch gar nicht, ich hab's zumindest noch nicht gelernt!!!
Wo liegt mein Fehler? Danke für jede Hilfe!!!

Gruß miniscout [clown]


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Bezug
Extrema -> Nebenfunktion: Leider ja: Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Di 08.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Miniscout!

> Danke, das hat mir sehr geholfen. [flowers]

Uiiihhh ... [verlegen]


> Hab meine Aufgabe mal durchgerechnet, kannst du mal
> drüberschaun? Danke!

Klar doch ...


> HF: [mm]V_{Z}(h,r)=\pi*r²*h[/mm]
> NF: [mm]R²=\bruch{h²}{4}+r²[/mm]  [mm]\to[/mm]  [mm]r²=R²-\bruch{h²}{4}[/mm]
>  
> [mm]V_{Z}(h)=\pi*h*R²-\bruch{pi*h³}{4}[/mm]
> [mm]V '_{Z}(h)=\pi*R²-\bruch{3*pi*h²}{4}[/mm]
>  
> für Extrema gilt ja: [mm]V '_{Z}(h)=0[/mm]

[daumenhoch] Bis hierher alles richtig!


> [mm]0=\pi*R²-\bruch{3*pi*h²}{4}[/mm]

[ok]


> [mm]h=\bruch{8}{3}R[/mm]

[notok] Hier hast Du dich verrechnet.

Mein Ergebnis lautet:
[mm] $h_E^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3} [/mm] * [mm] R^2$ [/mm]
[mm] $h_E [/mm] \ = \ R * [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * R * [mm] \wurzel{3}$ [/mm]


Kommst Du jetzt auch auf dieses Ergebnis?

Bitte nicht vergessen, diesen Wert für [mm] $h_E$ [/mm] in die 2. Ableitung einzusetzen, um die Art des Extremums zu bestimmen (hinreichendes Kriterium).


Poste doch nochmal Dein Ergebnis ...

Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Extrema -> Nebenfunktion: Geschafft!!?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Di 08.03.2005
Autor: miniscout

Hallo mal wieder!

Ja, jetzt hab ich's auch, muss mich durch mehrmaliges Nachrechnen und Fehlerkorrigieren verhaspelt haben...

Also ich hab jetzt:

[mm] $h=\bruch{2}{3}*\wurzel{3}*R$ [/mm]

daraus folgt r:

[mm] $r=\wurzel{\bruch{2}{3}}*R$ [/mm]

Bestimmung der Art der Extrema:

$V [mm] ''_{Z}(h)=-\bruch{3}{2}*\pi*R$ [/mm]
-> $V [mm] ''_{Z}(h)=-\pi*R*\wurzel{3}$ $<0\Rightarrow [/mm] Maximum$

Volumen des Zylinders:

[mm] $V_{Z}=\pi*r²*h$ [/mm]
[mm] $V_{Z}=\pi*\bruch{2}{3}*R²*\bruch{2}{3}*\wurzel{3}*R$ [/mm]

[aufgemerkt] [mm] $V_{Z}=\bruch{4}{9}R³*\pi*\wurzel{3}$ [/mm]

Stimmt das? [idee]
Dankeschön!!!

miniscout [clown]


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Bezug
Extrema -> Nebenfunktion: (Fast) alles richtig !!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Di 08.03.2005
Autor: Loddar

Hallo Miniscout!


[daumenhoch] [applaus] Stimmt alles, bis auf eine kleine Winzigkeit (war wahrscheinlich auch nur ein Flüchtigkeitsfehler / Tippfehler):


> Bestimmung der Art der Extrema:
> [mm]V''_{Z}(h)=-\bruch{3}{2}*\pi*R[/mm]

Richtig ist: [mm]V''_{Z}(h)=-\bruch{3}{2}*\pi*\red{h}[/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                                                
Bezug
Extrema -> Nebenfunktion: jep, Tippfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:19 Di 08.03.2005
Autor: miniscout

Hallöchen!

Ja, muss mich vertippt haben, in meinem Heft steht's auch richtig. [verlegen]

Danke nochmal,
und [gutenacht] miniscout


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