Extrema Berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Do 09.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Hallo
hab ne Frage zu Funktionen mehrerer Variablen.
Wie berechne ich die Nullstellen
also grad f(a) = 0
habe nach x abgelitten und bekomme
[mm] 24x^{2}-12xy [/mm] = 0
und nach y ableiten und auch gleich Null setzen
[mm] -6x^{2}-6y+18 [/mm] = 0
Wie gehe ich nun vor?
Muss ich beide ableitungen gleich setzen und gucken wann sie gleich Null sind?
Im Script sind die Zwischenschritte nie angegeben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Do 09.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Benni,
du suchst also die Punkte [mm] $(x,y)\in\IR^{2}$, [/mm] für die gilt
[mm] $24x^{2}-12xy=0\ \wedge\ -6x^{2}-6y+18=0$.
[/mm]
Setzen wir doch erstmal die erste Gleichung gleich Null:
[mm] $24x^{2}-12xy=0\gdw 12x(2x-y)=0\gdw x=0\vee x=\bruch{1}{2}y$.
[/mm]
Das heißt, $x$ muss schonmal ganz bestimmte Voraussetzungen erfüllen, damit nur die erste Gleichung gleich Null werden kann... Soweit klar, oder?
Dies kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen: $x=0$:
[mm] $-6\cdot 0^{2}-6y+18=0\gdw -6y+18=0\gdw [/mm] y=3$.
Das heißt, wir haben mit $(0,3)$ schon eine Nullstelle des Gradienten (und damit einen sogenannten kritischen Punkt) gefunden!
Jetzt noch [mm] $x=\bruch{1}{2}y$: $-6\left(\bruch{1}{2}y\right)^{2}-6y+18=0\gdw -\bruch{3}{2}y^{2}-6y+18=0\gdw\ldots$
[/mm]
Ich denke, jetzt kommst du allein klar, oder?
Ansonsten bitte nochmal nachfragen! 
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 09.03.2006 | | Autor: | Tequila |
ah danke
nun komm ich damit schon viel besser klar
nur noch eine kleine Rückfrage:
habe also raus für x
0 und 0,5y
und für y wenn ich mich nicht verrechnet habe
3 und 6 und 0
welche punkte untersuch ich denn nun?
jeden mit jedem verknüpft?
also
(0;3)
(0;6)
(0;0)
(0,5y;3)
(0,5y;6)
(0,5y;0)
wie behandel ich in dem Fall den punkt x = 0,5y
einfach einsetzen was für y gilt
also (0,5y;3) dann die 3 einsetzen und das ergibt
(1,5;3) ??
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Do 09.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Benni,
> nur noch eine kleine Rückfrage:
> habe also raus für x
> 0 und 0,5y
Richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und für y wenn ich mich nicht verrechnet habe
> 3 und 6 und 0
Wenn du die quadratische Gleichung löst, die ich dir in der letzten Antwort hingeschrieben habe, müsstest du auf [mm] $y_1=2$ [/mm] und [mm] $y_2=-6$ [/mm] kommen?!
Wir waren doch schon soweit, dass $(0,3)$ eine Nullstelle ist. Damit wäre der Fall $x=0$ abgefrühstückt. Dann hatten [mm] $x=\bruch{1}{2}y$ [/mm] gesetzt und die entstehende quadratische Gleichung in $y$ (siehe oben) gelöst.
Damit wissen wir, dass nur noch die Punkte $(1,2)$ und $(-3,-6)$ Nullstellen des Gradienten sind. Wie komme ich auf die beiden Punkte?
Die $y$-Werte sind die Lösungen der quadratischen Gleichung, und die $x$-Werte kennen wir, weil wir ja schon vorausgesetzt haben, dass [mm] $x=\bruch{1}{2}y$ [/mm] ist, also [mm] $x_1=\bruch{1}{2}\cdot [/mm] 2=1$ und [mm] $x_2=\bruch{1}{2}\cdot(-6)=-3$.
[/mm]
Jetzt ein bisschen klarer? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 09.03.2006 | | Autor: | Tequila |
danke!
hab auf meinem zettel stehen -6 und 2
keine ahnung wie ich auf 3 und 6 gekommen bin
also punkte sind
(0,3)
(-3,-6)
(1,2)
nun müsste ich es aber haben ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 09.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Benni,
vielleicht sollte ich es noch ein bisschen deutlicher machen:
Dadurch, dass wir die erste Gleichung gleich Null gesetzt haben, wissen wir, dass die erste (und ich rede jetzt nur von der ersten Gleichung) genau dann Null wird, wenn entweder $x=0$ ist (in dem Fall ist es egal, was $y$ dann ist) oder $x$ und $y$ so beschaffen sind, dass $x$ genau halb so groß ist wie $y$.
Damit zusätzlich die zweite Gleichung Null wird, haben wir diese Informationen in die zweite Gleichung eingesetzt und folgendes herausbekommen:
1. Wenn $x=0$ ist, wird die erste Gleichung Null (das wussten wir schon), aber die zweite wird nur dann auch Null, wenn $x=0$ und $y=3$ ist.
2. Wenn [mm] $x=\bruch{1}{2}y$ [/mm] ist, wird die erste Gleichung Null (das wussten wir schon), aber die zweite wird nur dann auch Null, wenn [mm] $x=\bruch{1}{2}y$ [/mm] und $y=2$ oder $y=-6$ ist.
Es gibt also genau drei Nullstellen des Gradienten: $(0,3)$, $(1,2)$ und $(-3,-6)$.
Ich hoffe, das macht es etwas deutlicher!
(Ich merke gerade, dass ich immer ganz unmathematisch davon gesprochen habe, dass eine "Gleichung Null wird". Ich meine damit natürlich, dass der entsprechende Term auf der linken Seite Null wird!)
MFG,
Yuma
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:15 Do 09.03.2006 | | Autor: | Tequila |
| Aufgabe | Untersuchen Sie auf lokale Extremwerte in [mm] R^{2}
[/mm]
[mm] f(x,y)=x^{3}y^{2}(1-x-y) [/mm] |
Hallo wieder
hab ne Aufgabe bei der ich nicht aufs Ergebnis vom Prof komme.
ich hab die Ableitungen gebildet
ich glaube die Schreibweisen können durcheinander bringen, aber ich schreib für die Funktion nach x abgeleitet fx und nach y abgeleitet fy
fxy ist dann fx nach y abgeleitet und fxx ist fx nach x abgeleitet etc.
ok dann mal los
[mm] fx=3x^{2}y^{2}-4x^{3}y^{2}-3x^{2}y^{3}
[/mm]
[mm] fy=2yx^{3}-2yx^{4}-3y^{2}x^{3}
[/mm]
das stimmte hoffentlich
nun als mögliche Extrema hab ich raus:
(0,0)
[mm] (\bruch{1}{2},\bruch{1}{3})
[/mm]
(0,1)
die zweiten Ableitungen also fxx fyy fxy fyx schreib ich nicht einzeln auf, hoffe erst auf eine Antwort, ob mein Ergebnis überhaupt stimmt.
nun muss ich ja prüfen ob [mm] fxx*fyy-(fxy)^{2} [/mm] > oder < 0 ist
fxy ist zufällig fyx deswegen darf ichs als Quadrat schreiben!
für 2 Punkte bekomme ich 0 raus, also keine Aussage möglich
aber für [mm] (\bruch{1}{2},\bruch{1}{3}) [/mm] bekomme ich [mm] \bruch{1}{144} [/mm] raus, also ist dort ein Extrempunkt
fxx von dem Punkt ist < 0 also liegt dort ein Maximum vor
ich bitte euch dies zu überprüfen, in der Lösung vom Prof steht das keine Extremwerte vorliegen.
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Hallo und guten Morgen,
Du musst doch [mm] f_x, f_y [/mm] gleich 0 setzten, um Kandidaten fuer Extrema zu bekommen, oder ?
Also Deine Funktionen [mm] f_x, f_y [/mm] scheinen mir richtig (hab's ueberprueft), und dann waere doch
[mm] f_x=x^2y^2\cdot [/mm] (3-4x-3y)
[mm] f_y=x^3y\cdot [/mm] (2-2x-3y)
Aber dann sind doch auf den beiden Achsen x=0 bzw y=0 beide Ableitungen konstant gleich 0, richtig ?
Also das waeren dann schon mal recht viele Kandidaten fuer Extrema. Dann muss man ueber die zweiten Ableitungen
gehen.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mo 13.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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