Extrema / Stationäre Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 03.05.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion [mm]f: \IR^{2}\rightarrow\IR[/mm] mit
[mm]f(x,y)=-(x^2+y^2)^2+x^2-y^2[/mm] |
Hallo :)
Hätte ein kleines Problem mit diesem Bsp:
Berechnet habe ich nun:
[mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =-4x(x²+y²-\frac{1}{2})=0[/mm]
[mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} =-4y(x²+y²+\frac{1}{2})=0[/mm]
Es gilt doch nun [mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =0[/mm] nur wenn entweder [mm]x=0[/mm] , oder [mm]x^2+y^2=\frac{1}{2}[/mm].
[mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} =0[/mm] gilt nur wenn y=0.
Dann habe ich mir meine Stationären Punkte mal überlegt:
mein 1. Punkt muss doch klarerweise [mm]P_1=(0,0)[/mm] sein.
forme ich die Gleichung [mm]x^2+y^2=\frac{1}{2}[/mm] auf [mm]x^2=\frac{1}{2}-y^2[/mm] um erhalte ich 2 weitere Punkte:
[mm]P_2=(-\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm] und [mm]P_3=(\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm]
meine Hessematrix lautet dann:
[mm]H(x,y)=\pmat{ -12x^2-4xy^2+2 & -8xy \\
-8xy & -4x^2-12y^2-2 } [/mm]
Im Punkt (0,0) müsste dann gelten dass [mm]det(H(0,0))=-4<0[/mm] und indefinit - f hat an(0,0) einen Sattelpunkt.
Dann habe ich noch [mm]det(H(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},0))=16>0[/mm]
und [mm]\frac{\partial^2 f(x,y) }{\partial x^2} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}},0)=-4[/mm].
Also ist [mm]H(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm] negativ definit -> [mm]P_2[/mm] und [mm]P_3[/mm] sind lokale Maxima
Bin mir nicht ganz sicher, ob ich dieses Bsp korrekt gelöst habe :) Würde mich sehr freuen, wenn jemand mal nen Blick drüber werfen kann.
Liebe Grüße, eure Meely :D
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Hallo meely,
> Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion [mm]f: \IR^{2}\rightarrow\IR[/mm]
> mit
> [mm]f(x,y)=-(x^2+y^2)^2+x^2-y^2[/mm]
>
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> Hallo :)
>
> Hätte ein kleines Problem mit diesem Bsp:
>
> Berechnet habe ich nun:
>
> [mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =-4x(x²+y²-\frac{1}{2})=0[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} =-4y(x²+y²+\frac{1}{2})=0[/mm]
>
Schreibe Exponenten immer in geschweifte Klammern.
Das sieht dann so aus: x^{2}
Das ergibt: [mm]x^{2}[/mm]
Demnach hier:
[mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =-4x(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})=0[/mm]
[mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} =-4y(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2})=0[/mm]
> Es gilt doch nun [mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} =0[/mm] nur
> wenn entweder [mm]x=0[/mm] , oder [mm]x^2+y^2=\frac{1}{2}[/mm].
>
> [mm]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} =0[/mm] gilt nur wenn y=0.
>
>
> Dann habe ich mir meine Stationären Punkte mal überlegt:
>
> mein 1. Punkt muss doch klarerweise [mm]P_1=(0,0)[/mm] sein.
>
> forme ich die Gleichung [mm]x^2+y^2=\frac{1}{2}[/mm] auf
> [mm]x^2=\frac{1}{2}-y^2[/mm] um erhalte ich 2 weitere Punkte:
>
> [mm]P_2=(-\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm] und [mm]P_3=(\frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm]
>
> meine Hessematrix lautet dann:
>
> [mm]H(x,y)=\pmat{ -12x^2-4xy^2+2 & -8xy \\
-8xy & -4x^2-12y^2-2 }[/mm]
>
> Im Punkt (0,0) müsste dann gelten dass [mm]det(H(0,0))=-4<0[/mm]
> und indefinit - f hat an(0,0) einen Sattelpunkt.
>
> Dann habe ich noch [mm]det(H(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},0))=16>0[/mm]
>
> und [mm]\frac{\partial^2 f(x,y) }{\partial x^2} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}},0)=-4[/mm].
>
> Also ist [mm]H(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},0)[/mm] negativ definit -> [mm]P_2[/mm]
> und [mm]P_3[/mm] sind lokale Maxima
>
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Bin mir nicht ganz sicher, ob ich dieses Bsp korrekt
> gelöst habe :) Würde mich sehr freuen, wenn jemand mal
> nen Blick drüber werfen kann.
>
> Liebe Grüße, eure Meely :D
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Do 03.05.2012 | | Autor: | meely |
Hallo MathePower :) lieben Dank für deine Antwort.
> Schreibe Exponenten immer in geschweifte Klammern.
> Das sieht dann so aus: [mm] x^{2}
[/mm]
> Das ergibt: $ [mm] x^{2} [/mm] $
Wird gemacht :) Versuche zwar jedes mal daran zu denken, trotzdem vergesse ich leider oft darauf.
Juuuuhuuuu :DD das ist ja dann (fast) genau so einfach wie bei Analysis einer Veränderlichen :D
Liebe Grüße und danke nochmal.
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