Extrema auf Mannigfaltigkeiten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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In unserer Vorlesung hatten wir folgenden Satz, den ich leider nicht ganz verstehe:
Sei F: [mm] \IR^{s}-> \IR [/mm] stetig differenzierbar, und sei
M = [mm] \{x\in \IR^{s}: F(x) = 0\}, [/mm] und sei [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M grad(F(x)) [mm] \not= [/mm] 0 dann ist M [mm] \subset \IR^{s} [/mm] eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
Weiters sei f: [mm] \IR^{s} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] differenzierbar auf U [mm] \subset \IR^{s} [/mm] offen, wobei M [mm] \subset [/mm] U
Ist M beschränkt, dann existieren Maximum und Minimum von f auf M. M enthält somit mindestens zwei kritsche Punkte.
Wobei ein kritischer Punkt [mm] x\in \IR^{s} [/mm] definiert wurde als ein solcher, wo grad(f(x)) = 0
Dass f auf M Minimum und Maximum annimmt, ist mir klar (Kompaktheit und Stetigkeit)
Wieso muss nun aber gelten, dass der Gradient in dem Punkt, wo f sein Maximum (respekt.) Minimum auf M annimmt, gleich 0 ist?
Ich verstehe zwar, dass fuer lokale Extrema gelten muss, dass der Gradient gleich dem Nullvektor sein muss, hier hingegen handelt es sich ja aber um "globale" Extrema (auf M).
Danke fuer alle Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> In unserer Vorlesung hatten wir folgenden Satz, den ich
> leider nicht ganz verstehe:
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> Sei F: [mm]\IR^{s}-> \IR[/mm] stetig differenzierbar, und sei
> M = [mm]\{x\in \IR^{s}: F(x) = 0\},[/mm] und sei [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M
> grad(F(x)) [mm]\not=[/mm] 0 dann ist M [mm]\subset \IR^{s}[/mm] eine
> differenzierbare Mannigfaltigkeit
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> Weiters sei f: [mm]\IR^{s}[/mm] -> [mm]\IR[/mm] differenzierbar auf U [mm]\subset \IR^{s}[/mm]
> offen, wobei M [mm]\subset[/mm] U
> Ist M beschränkt, dann existieren Maximum und Minimum von
> f auf M. M enthält somit mindestens zwei kritsche Punkte.
>
> Wobei ein kritischer Punkt [mm]x\in \IR^{s}[/mm] definiert wurde als
> ein solcher, wo grad(f(x)) = 0
>
Kann es sein, dass diese Definition von kritischer Punkt nicht zu diesem Satz gehört?
Also ich meine... ihr hattet sie doch bestimmt "weiter vorne" wo ihr "normale" Extrema betrachtet habt.
Bei mir im Skript steht nämlich, dass wenn x eine Extremstelle von f auf M ist, dann sind grad(f) und grad(F) linear abhängig.
> Dass f auf M Minimum und Maximum annimmt, ist mir klar
> (Kompaktheit und Stetigkeit)
>
> Wieso muss nun aber gelten, dass der Gradient in dem Punkt,
> wo f sein Maximum (respekt.) Minimum auf M annimmt, gleich
> 0 ist?
> Ich verstehe zwar, dass fuer lokale Extrema gelten muss,
> dass der Gradient gleich dem Nullvektor sein muss, hier
> hingegen handelt es sich ja aber um "globale" Extrema (auf
> M).
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> Danke fuer alle Antworten.
>
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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