Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mo 14.07.2008 | | Autor: | piep |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum der Funktion [mm] f:(x,y)\mapsto{x+y} [/mm] auf der Kreislinie [mm] S=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=2\} [/mm] |
Hallo,
also ich glaube hier muss man den Satz über Extrema mit Nebenbedingungen anweden. Ich habe bereits aus S eine Funktion g aufgestellt mit [mm] g(x,y)=x^{2}+y^{2}-2 [/mm]
Dann habe ich h aufgestellt, wobei [mm] h=f-\lambda*g [/mm] ist, also
[mm] h(x,y,\lambda)=x+y-\lambda*(x^{2}+y^{2}-2)
[/mm]
Die Ableitung von h ist also:
[mm] Dh(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] (1-2x\lambda [/mm] , [mm] 1-2y\lambda [/mm] , [mm] 2-x^{2}-y^{2} [/mm] )
Aus dieser Ableitung habe ich 3 Gleichungen gemacht und alle gleich 0 gesetzt und dann nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst. Dann kam also raus, dass
[mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
doch wo setze ich [mm] \lambda [/mm] nun weiter ein und was mache ich damit? Bin irgendwie gerade total verwirrt und wäre echt dankbar für Hilfe!
gruß piep
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo piep!
Setez die ermittelten [mm] $\lambda$-Werte [/mm] in die partiellen Ableitungen ein und bestimme daraus $x_$ und $y_$ .
Zum Beispiel mit [mm] $h_x(x,y,\lambda)\ [/mm] = \ [mm] 1-2*x*\lambda [/mm] \ = \ [mm] 1-2*x*\bruch{1}{2} [/mm] \ = \ 0$ usw.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 14.07.2008 | | Autor: | piep |
Hallo Loddar,
danke erstmal!
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> Setez die ermittelten [mm]\lambda[/mm]-Werte in die partiellen
> Ableitungen ein und bestimme daraus [mm]x_[/mm] und [mm]y_[/mm] .
>
> Zum Beispiel mit [mm]h_x(x,y,\lambda)\ = \ 1-2*x*\lambda \ = \ 1-2*x*\bruch{1}{2} \ = \ 0[/mm]
> usw.
>
Damit wären dann meine ermittelten x und y einmal (x,y) = (1,1) und (x,y) = (-1,-1), ist das richtig so?
und in welche Fuktion setze ich die jetzt nochmal ein um dann die Hesse-Matrix zu berechnen und zu gucken ob es da ein Minimum oder Maximum gibt?
gruß piep
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:02 Di 15.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo piep!
Die ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix setzt sich aus den zweiten Ableitungen zusammen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 15.07.2008 | | Autor: | piep |
Hallo Loddar,
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> Die Hesse-Matrix
> setzt sich aus den zweiten Ableitungen zusammen.
>
>
Ja mir ist klar, dass ich es in die Hesse-Matrix einsetze, doch in welche Hessematrix? Die von f, von g oder von h? Ich weiß gerade nicht weiter und ich habe 3 Funktionen.
Würde ich die Punkte in die Hessematrix von f einsetzen, dann würde ich ja nix explizites rauskriege. wo genau setze ich das alles denn jetzt ein?
gruß piep
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Di 15.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo piep!
Da Du ja gerade die Extrema der Lagrange-Funktion $h(x)_$ suchst, musst Du auch die Hesse-Matrix von $h(x)_$ verwenden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Mo 14.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo piep,
so weit so gut. Die beiden [mm] \lambda [/mm] sehen ganz gut aus. Aber wo hast du die zugehörigen x und y - Werte aus der Gleichungslösung gelassen (3 Gleichungen, 3 Unbekannte)? Ich denke, die interessieren dich doch, wenn du wissen willst, wo die Kandidaten(!) für Extrema liegen.
Gruß
Uli
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