Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | [mm] w=x^2 [/mm] - [mm] cos(y-x^2) [/mm] |
mit |y|<=2pi und x2<=2pi
habe also part. abgeleitet:
fx= [mm] 2x(2-sin(y-x^2))
[/mm]
[mm] fy=sin(y-x^2)
[/mm]
aus der faktorisierung habe ich
i) x=0 in (2) sin(y)=0 -> und null ist eine Lösung, pi sicher auch und 2pi...
woher weiß ich was ich denn da so nehmne? oben steht was mit y, also denke ich mal dass ich alle bis 2pi untersuchen werde als punke?
P1(0,0) ist ein punkt den ich zu untersuchen habe
was ist mit dem 2. faktor [mm] (2-sin(y-x^2), [/mm] muss ich den unten einsetzten und wenn ja wie macht man das denn? ich wüsste net wie ich das gescheit auflöse wenn da steht [mm] sin(y-x^2)=2 [/mm] evtl mit arcsin?
danke für eure nette und verständliche hifle!
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> [mm]w=x^2[/mm] - [mm]cos(y-x^2)[/mm] mit |y|<=2pi und x2<=2pi
> habe also part. abgeleitet:
>
> fx= [mm]2x(2-sin(y-x^2))[/mm]
Diese partielle Ableitung mußt Du nochmal nachrechnen.
> [mm]fy=sin(y-x^2)[/mm]
>
> aus der faktorisierung habe ich
>
> i) x=0 in (2) sin(y)=0 -> und null ist eine Lösung, pi
> sicher auch und 2pi...
> woher weiß ich was ich denn da so nehmne? oben steht was
> mit y, also denke ich mal dass ich alle bis 2pi untersuchen
> werde als punke?
So isses, und für x entsprechend.
Aus der Gleichung [mm]f_{x}\left(x,y\right)=0[/mm] folgen mehrere Fälle.
Für jeden dieser Fälle ist die Lösung der Gleichung [mm]f_{y}\left(x,y\right)=0[/mm] zu ermitteln.
>
> P1(0,0) ist ein punkt den ich zu untersuchen habe
>
> was ist mit dem 2. faktor [mm](2-sin(y-x^2),[/mm] muss ich den unten
> einsetzten und wenn ja wie macht man das denn? ich wüsste
> net wie ich das gescheit auflöse wenn da steht
> [mm]sin(y-x^2)=2[/mm] evtl mit arcsin?
Dieser Faktor muß so lauten:
[mm]\red{1}-sin\left(y-x^2\right)[/mm]
Dann hast Du die Gleichung
[mm]1-sin\left(y-x^2\right)=0[/mm]
zu lösen.
Und wann der Sinus den Wert 1 annimmt, sollte ja bekannt sein.
>
> danke für eure nette und verständliche hifle!
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
da war ein rechnfehler ^^
gut also habe ich
sin ist =1 bei pi/2 folgt
[mm] y-x^2=pi/2 [/mm] folgt
[mm] y=x^2 [/mm] + pi/2
in (2)
[mm] sin(pi/2+x^2-x^2)=0 [/mm] was ja keine wahre aussage ist da das ja =1 ist
ich kann aber auch schreiben x= +/- Wurzel(y-pi/2) in (2)
was aber leider auf das gleiche führt! wo ist mein denkfehler?
|
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> da war ein rechnfehler ^^
>
> gut also habe ich
>
> sin ist =1 bei pi/2 folgt
>
> [mm]y-x^2=pi/2[/mm] folgt
>
> [mm]y=x^2[/mm] + pi/2
>
> in (2)
>
> [mm]sin(pi/2+x^2-x^2)=0[/mm] was ja keine wahre aussage ist da das
> ja =1 ist
>
> ich kann aber auch schreiben x= +/- Wurzel(y-pi/2) in (2)
> was aber leider auf das gleiche führt! wo ist mein
> denkfehler?
Denkfehler ist da keiner drin.
Für den Fall [mm]y=x^{2}+\bruch{\pi}{2}[/mm] ist somit die Lösungsmenge leer.
Ist also kein Kandidat für ein mögliches Extrema.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
das würde ich ja verstehen aber die Lösung spricht:
abs. Max. f(+- Wurzel(2pi), +-pi)
ich kann mir nicht erklären was das soll da in meinen Augen nur folgene punkte in betracht kommen:
mit x=0
(0,0), (0,+-pi), (0,2+-pi)
|
|
|
| |
|
Hallo domerich,
> das würde ich ja verstehen aber die Lösung spricht:
> abs. Max. f(+- Wurzel(2pi), +-pi)
>
> ich kann mir nicht erklären was das soll da in meinen
> Augen nur folgene punkte in betracht kommen:
>
> mit x=0
> (0,0), (0,+-pi), (0,2+-pi)
Zur Bestimmung des absoluten Maxiums, mußt Du auch noch den Rand betrachten.
Halte also eine Variable fest, und lasse die andere laufen.
Und untersuche dann auf Extrema.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
die randuntersuchung! das habe ich bis heute nicht kapiert.
in einem buch steht steht z.b. für x=0 ist w=f(0,y)
was ist denn mein rand? die einschränkungen aus der aufgabenstellung nehme ich mal an, also
[mm] x^2<= [/mm] 2pi, was sagt mir das? das x auf [-2.5pi, 2.5pi] sich bewegen kann?
und |y|<= 2pi dass y auf [-2pi, 2pi] definiert ist? wie gehe ich weiter vor wenn ich schauen will was auf diesen Randlinien los ist ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mo 03.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist R = { (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] x^2 \le [/mm] 2 [mm] \pi, [/mm] |y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] }= { (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : |x| [mm] \le \wurzel{2 \pi}, [/mm] |y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] } ein Rechteck im [mm] \IR^2. [/mm] Zeichne es mal, dann siehst Du was [mm] \partial [/mm] R ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
gut ich habe dieses rechteck gezeichnet, es ist schmal.
das ist also mein rand. wie gehts dann weiter?
|
|
|
| |
|
Hallo Nickles,
> gut ich habe dieses rechteck gezeichnet, es ist schmal.
>
> das ist also mein rand. wie gehts dann weiter?
Betrachte jetzt die Funktion f auf dem Rand.
Da eine Variable jetzt konstant ist, brauchst Du nur die jeweilige
entsprechende partielle Ableitung von f betrachten.
Ist [mm]y=2\pi[/mm], dann betrachte [mm]f\left(x,2\pi\right)[/mm]
und löse dann die Gleichung [mm]f_{x}\left(x,2\pi\right)=0[/mm].
Entscheide denn welcher Art dieses Extrema ist.
So machst Du das mit allen Randkurven.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 03.08.2009 | | Autor: | domerich |
das klang verständlich.
mein f(x,2pi) ist demnach
[mm] x^2-cos(2pi-x^2)
[/mm]
und das abgeleitet
[mm] 2x-2xsin(2pi-x^2)=0
[/mm]
dann hätte ich mit [mm] x^2=2pi-1/2
[/mm]
2 punkte
die kann ich ja einsetzten in meine modifizierte f funktion f(x,2pi)
irgendetwas von meinem gedankengang richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mo 03.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] x^2=2pi-1/2 [/mm] $
hast du dich verschrieben oder nen echten Fehler?
sonst untersuchen ob es max oder Min ist und am Ende die Werte an den Max und Min stellen vergleichen, um das absolute max und Min zu finden.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
wie ich das verstanden habe muss ich schauen wo der term gleich die steigung null hat:
[mm] 1-sin(2pi-x^2)=0
[/mm]
gibt [mm] sin(2pi-x^2)=1
[/mm]
und sin ist eins bei 1/2
also soll gelten
[mm] 2pi-x^2 [/mm] != 1/2
in der lösung steht aber +/- Wurzel(2pi)
ich hab hier wohl was noch nicht verstanden...
|
|
|
| |
|
Hallo doemerich,
> wie ich das verstanden habe muss ich schauen wo der term
> gleich die steigung null hat:
>
> [mm]1-sin(2pi-x^2)=0[/mm]
>
> gibt [mm]sin(2pi-x^2)=1[/mm]
>
> und sin ist eins bei 1/2
> also soll gelten
>
> [mm]2pi-x^2[/mm] != 1/2
Hier ist wohl
[mm]2pi-x^2!= \bruch{\red{\pi}}{2}[/mm]
gemeint.
> in der lösung steht aber +/- Wurzel(2pi)
>
> ich hab hier wohl was noch nicht verstanden...
Es gibt ja hier noch 3 andere Fälle, die Du zu untersuchen hast:
[mm]f\left(x,-2\pi\right)[/mm]
[mm]f\left(-\wurzel{2\pi},y\right)[/mm]
[mm]f\left(+\wurzel{2\pi},y\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
dummer fehler von mir. dann halt + - [mm] \wurzel{3/2 Pi } [/mm] die ich noch untersuchen muss
stehe aber wieder auf dem schlauch wie komme ich auf die anderen 3 werte? sinus(x) wird doch nur 1 für pi/2
|
|
|
| |
|
Hallo doemerich,
> dummer fehler von mir. dann halt + - [mm]\wurzel{3/2 Pi }[/mm] die
> ich noch untersuchen muss
Untersuche diese jetzt auf die Art des Extrema.
>
> stehe aber wieder auf dem schlauch wie komme ich auf die
> anderen 3 werte? sinus(x) wird doch nur 1 für pi/2
Nun, im Fall [mm]\vmat{y}=\vmat{C_{1}}=2\pi[/mm] bestimmst Du die Lösungsmenge von
[mm]f_{x}\left(x,C_{1}\right)=0[/mm]
und entscheidest dann,
mittels der zweiten partiellen Ableitung nach x,
welcher Art die Extrema sind.
Das selbe Spiel für [mm]\vmat{x}=\vmat{C_{2}}=\wurzel{2\pi}[/mm]
Hier bestimmst Du nur die Lösungsmenge von
[mm]f_{y}\left(C_{2},y\right)=0[/mm]
und entscheidest dann, mittels der
zweiten partiellen Ableitung nach y,
welcher Art die Extrema sind.
Daraus sollte sich dann das abolute Maximum ergeben.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
aso schon etwas spät war etwas verwirrt ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Di 04.08.2009 | | Autor: | domerich |
gut also wenn ich untersuche f(x,2pi)
habe ich ja x=+ - [mm] \wurzel[]{3/2 pi} [/mm] errechnet.
da in der funktion immer x² vorkommt muss ich nur einmal rechnen.
wenn ich dieses x in die 2. ableitung einsetzt bekomme ich
2+4*3/2 cos(0) was ja 2 ist und ein minimum bedeuten würde?
in der lösung taucht das nicht auf leider.
wenn ich dann x festhalte kriege ich doch [mm] f(\wurzel[]{2pi},y)
[/mm]
daraus erhalte ich nach ableiten
sin(y-2pi)=0,
eine lösung wäre der term wird null also
y=2pi
der sinuns term wäre auch für pi und 2pi null aber y wäre dann 3 bzw 4 pi und das ist ja im definitionsbereich glaub nicht erlaubt.
eingesetzt in die zweite ableitung gäbe das cos(2pi-2pi)=1
also ein minimum. leider weit weg von der lösung die sagt:
max bei [mm] (+-\wurzel[]{2pi},+-pi) [/mm] (( der x wert wäre schon mal richtig ^^)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich sehe hast du von deinem Randrechteck erst eine Seite untersucht, untersuch erst mal die Funktion auf allen 4 randstuecken und sieh dir dann die Werte der fkt. bei den jeweiligen "lokalen min und Max an.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ne ich habe alle untersucht.
wegen der quadratischen form muss man für x nur eine seite ausrechnen.
für y=-2pi gibt es keine lösung (außer komplex)
es ist der wurm drin und ich weiß nicht was nicht stimmt.
hier nochmal meine rechnung:
[mm] w=x^{2}-cos(y-x^{2})\pi
[/mm]
in fxx eingesetzt=2 >0 -> min
ich haltey fest mit [mm] 2\pi [/mm] und leite w ab nach x
[mm] 2x(1-sin(2\pi-x^{2})=0
[/mm]
[mm] 2\pi-x^{2}=\pi/2
[/mm]
und x = + - [mm] \Wurzel(3/2)
[/mm]
wenn ich x festhalte führt sin(y-2pi)=0 auf y=2pi
das stimmt aber alles irgendwie nicht :'(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 06.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
