Extrema bestimmen und Lagrange < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:43 Do 11.09.2008 | | Autor: | jack0 |
| Aufgabe | Sei f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] y^3 [/mm] und [mm] g(x,y)=x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -1
(a) Bestimmen Sie alle stationären Punkte der Abbildungen f und g und entscheiden Sie, welcher Typ von Extremalstelle oder Sattelpunkt jeweils vorliegt.
(b) Bestimmen Sie alle Extrema von f unter der Nebenbedingung g(x,y) = 0. Welcher Typ von Extremum liegt vor? |
Hallo,
ich steck gerade in Prüfungsvorbereitungen und bei oben genannter Aufgabe hab ich leider keine Lösung parat und wollte euch mal fragen ob das so hinkommt oder ob ihr Fehler entdecken könnt. Hier mal meine Lösung:
(a) (grad f) (x,y) = [mm] \pmat{3x^2 \\ -3y^2} [/mm] = 0 mögliche Extrema x=0, y=0
[mm] f_{xy}^2 [/mm] (0,0) < [mm] f_{xx} [/mm] (0,0) * [mm] f_{yy} [/mm] (0,0) Da auf der Linken und Rechten Seite dieser Ungleichung Null steht folgt daraus, dass es ein Sattelpunkt ist.
(grad g) (x,y) = [mm] \pmat{2x \\ 2y} [/mm] = 0 mögliche Extrema x=0, y=0
[mm] g_{xy}^2 [/mm] (0,0) < [mm] g_{xx} [/mm] (0,0) * [mm] g_{yy} [/mm] (0,0) mit 0 < 2*2. Da [mm] g_{xx} [/mm] > 0 folgt, dass an der Stelle (0,0) ein Minimum ist.
Nun zur b) Ich werde es mit Lagrange machen, also
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] y^3 [/mm] + [mm] \lambda (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 1)
Die Ableitungen
[mm] L_x [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm] + 2 [mm] \lambda [/mm] x = 0
[mm] L_y [/mm] = [mm] -3y^2 [/mm] + 2 [mm] \lambda [/mm] y = 0
[mm] L_\lambda [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 1 = 0
x(3x + 2 [mm] \lambda) [/mm] = 0 [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] x
y(-3y + 2 [mm] \lambda) [/mm] = 0 [mm] \lambda [/mm] einsetzen und auflösen ergibt y = -x
Das in [mm] L_{\lambda} [/mm] einsetzen ergibt x = [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] und das wiederum mit y = -x ergibt y = [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
So ergeben sich die Punkte [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] , - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] und (- [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] )
Jetzt ist natürlich noch die Frage welcher Typ von Extrema vorliegt.
Wenn man es in f einsetzt kommt man auf
f (- [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] und f [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] , - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Würde jetzt sagen [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ist das Maximum und - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] das Minumum. Bin mir aber ehrlich gesagt unsicher.
Gruß Peter
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> Sei f(x,y) = [mm]x^3[/mm] - [mm]y^3[/mm] und [mm]g(x,y)=x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] -1
> (a) Bestimmen Sie alle stationären Punkte der Abbildungen
> f und g und entscheiden Sie, welcher Typ von Extremalstelle
> oder Sattelpunkt jeweils vorliegt.
> (b) Bestimmen Sie alle Extrema von f unter der
> Nebenbedingung g(x,y) = 0. Welcher Typ von Extremum liegt
> vor?
> Hallo,
> ich steck gerade in Prüfungsvorbereitungen und bei oben
> genannter Aufgabe hab ich leider keine Lösung parat und
> wollte euch mal fragen ob das so hinkommt oder ob ihr
> Fehler entdecken könnt. Hier mal meine Lösung:
> (a) (grad f) (x,y) = [mm]\pmat{3x^2 \\ -3y^2}[/mm] = 0 mögliche
> Extrema x=0, y=0
> [mm]f_{xy}^2[/mm] (0,0) < [mm]f_{xx}[/mm] (0,0) * [mm]f_{yy}[/mm] (0,0) Da auf der
> Linken und Rechten Seite dieser Ungleichung Null steht
> folgt daraus, dass es ein Sattelpunkt ist.
Hallo,
nein, dieser Schluß ist nicht richtig. Wenn die Determinante der Hessematrix=0 ist, ist man so schlau wie zuvor: Extremwert oder Sattelpunkt. Man muß sich dann etwas anderes einfallen lassen.
Hier könntest Du zeigen, daß es in jeder Umgebung von (0/0) Stellen gibt mit Funktionswerten, die größer sind als 0, und solche mit Funktionswerten <0.
>
> (grad g) (x,y) = [mm]\pmat{2x \\ 2y}[/mm] = 0 mögliche Extrema x=0,
> y=0
> [mm]g_{xy}^2[/mm] (0,0) < [mm]g_{xx}[/mm] (0,0) * [mm]g_{yy}[/mm] (0,0) mit 0 < 2*2.
> Da [mm]g_{xx}[/mm] > 0 folgt, dass an der Stelle (0,0) ein Minimum
> ist.
Ja.
>
> Nun zur b) Ich werde es mit Lagrange machen, also
> [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] = [mm]x^3[/mm] - [mm]y^3[/mm] + [mm]\lambda (x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 1)
>
> Die Ableitungen
> [mm]L_x[/mm] = [mm]3x^2[/mm] + 2 [mm]\lambda[/mm] x = 0
> [mm]L_y[/mm] = [mm]-3y^2[/mm] + 2 [mm]\lambda[/mm] y = 0
> [mm]L_\lambda[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 1 = 0
>
> x(3x + 2 [mm]\lambda)[/mm] = 0 [mm]\lambda[/mm] = - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] x
Achtung: Du verlierst Lösungen!
Aus [mm]3x^2[/mm] + 2 [mm]\lambda[/mm] x = 0 folgt [mm] \lambda [/mm] = - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] x oder x=0.
Beide Fälle mußt Du weiterverfolgen!
> y(-3y + 2 [mm]\lambda)[/mm] = 0 [mm]\lambda[/mm] einsetzen und auflösen
> ergibt y = -x
> Das in [mm]L_{\lambda}[/mm] einsetzen ergibt x = [mm]\pm \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> und das wiederum mit y = -x ergibt y = [mm]\pm \bruch{1}{\wurzel{2}}.[/mm]
>
> So ergeben sich die Punkte [mm](\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] , -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] und (- [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ,
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] )
>
> Jetzt ist natürlich noch die Frage welcher Typ von Extrema
> vorliegt.
> Wenn man es in f einsetzt kommt man auf
> f (- [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] , [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] = -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] und f [mm](\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] , -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> Würde jetzt sagen [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ist das Maximum
> und - [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] das Minumum. Bin mir aber
> ehrlich gesagt unsicher.
Das wäre der Schluß, den man nach jetziger Lage der Dinge ziehen würde, aber wie gesagt: Du hast Lösungen verloren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Fr 12.09.2008 | | Autor: | jack0 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Kannst du mir vielleicht mal ein Beispiel sagen, wie ich bei der a) prüfe ob es nun ein Extrema ist oder nicht? Weiß nämlich nicht so genau wie ich das in der Umgebung prüfen soll.
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> Kannst du mir vielleicht mal ein Beispiel sagen, wie ich
> bei der a) prüfe ob es nun ein Extrema ist oder nicht? Weiß
> nämlich nicht so genau wie ich das in der Umgebung prüfen
> soll.
Hallo,
Du untersuchst die Funktion f(x,y) = $ [mm] x^3 [/mm] $ - $ [mm] y^3 [/mm] $ und hattest herausbekommen, daß bei (0,0) ein Sattelpunkt oder ein Extremum vorliegt.
Der Funktionswert an der Stelle (0,0) ist f(0,0)=0.
Für alle [mm] n\in \IN [/mm] ist [mm] f(0,\bruch{1}{n})=-\bruch{1}{n^3}<0 [/mm] und [mm] f(0,-\bruch{1}{n})=\bruch{1}{n^3}>0.
[/mm]
Also gibt es in jeder Umgebung von (0,0) Stellen, deren Funktionswert größer als f(0,0) ist und solche, an denen der Funktionswert kleiner als f(0,0) ist. also hat man bi (0,0) keinen Extremwert. Daher muß es ein Sattelpunkt sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Fr 12.09.2008 | | Autor: | jack0 |
Ah ok, vielen Dank!
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